2006年湖北（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年湖北（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知向量#»a = ( √ 3, 1), #»b 是不平行于x 轴的单位向量, 且#»a · #»b = √ 3, 则 #»b = ( ) (A) (√ 3 2 , 1 2 ) (B) ( 1 2, √ 3 2 ) (C) ( 1 4, 3 √ 3 4 ) 5分
   D. (1, 0)
2. 2. 若互不相等的实数a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列, 且a+3b+c = 10, 则a = ( ) 5分
   A. 4 B. 2 C. −2 D. −4
3. 3. △ABC 的内角A 满足sin 2A = 2 3, 则sin A + cos A = ( ) (A) √ 15 3 √ 15 3 3 3 5分
   B. − C. 5 D. −5
4. 4. 设f(x) = lg 2 + x 2 −x, 则f (x 2 ) + f (2 x ) 的定义域为 ( ) 5分
   A. (−4, 0) ∪(0, 4) B. (−4, −1) ∪(1, 4) C. (−2, −1) ∪(1, 2) D. (−4, −2) ∪(2, 4)
5. 5. 在 (√x − 1 3√x )24 的展开式中, x 的幂的指数是整数的项共有 ( ) 5分
   A. 3 项 B. 4 项 C. 5 项 D. 9 项
6. 6. 关于直线m, n 与平面α, β, 有以下四个命题: ①若m α, n β 且α β, 则m n; ②若m ⊥α, n ⊥β 且α ⊥β, 则m ⊥n; ③若m ⊥α, n β 且α β, 则m ⊥n; ④若m α, n ⊥β 且α ⊥β, 则m n. 其中真命题的序号是 ( ) 5分
   A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③
7. 7. 设过点P(x, y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A, B 两点, 点Q 与点P 关于y 轴对称, O 为坐标原点, 若# » BP = 2# » PA 且 # » OQ · # » AB = 1, 则点P 的轨迹方程是 ( ) 2y2 = 1 (x > 0, y > 0) 2y2 = 1 (x > 0, y > 0) 2x2 −3y2 = 1 (x > 0, y > 0) 2x2 + 3y2 = 1 (x > 0, y > 0) 5分
   A. 3x2 + 3 B. 3x2 −3 C. 3 D. 3
8. 8. 有限集合S 中元素的个数记作card(S), 设A, B 都为有限集合, 给出下列 命题: ①A ∩B = ∅的充要条件是card(A ∪B) = card(A) + card(B); ②A ⊆B 的必要条件是card(A) ⩽card(B); ③A ⊈B 的充分条件是card(A) ⩽card(B); ④A = B 的充要条件是card(A) = card(B). 其中真命题的序号是 ( ) 5分
   A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③
9. 9. 已知平面区域D 由以A(1, 3), B(5, 2), C(3, 1) 为顶点的三角形内部和边 界组成. 若在区域D 上有无穷多个点(x, y) 可使目标函数z = x + my 取 得最小值, 则m = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 4
10. 10. 关于x 的方程(x2 −1)2 −|x2 −1| + k = 0, 给出下列四个命题: ①存在实数k, 使得方程恰有2 个不同的实根; ②存在实数k, 使得方程恰有4 个不同的实根; ③存在实数k, 使得方程恰有5 个不同的实根; ④存在实数k, 使得方程恰有8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 ( ) 5分
    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 设x、y 为实数, 且 x 1 −i + y 1 −2i = 5 1 −3i, 则x + y = . 5分
2. 2. 接种某疫苗后, 出现发热反应的概率为0.80, 现有5 人接种该疫苗, 至少有 3 人出现发热反应的概率为 . (精确到0.01) 5分
3. 3. 已知直线5x+12y +a = 0 与圆x2 −2x+y2 = 0 相切, 则a 的值为 . 5分
4. 4. 某工程队有6 项工程需要先后单独完成, 其中工程乙必须在工程甲完成后 才能进行, 工程丙必须在工程乙完成后才能进行, 又工程丁必须在工程丙 完成后立即进行. 那么安排这6 项工程的不同排法种数是 . (用数字 作答) 5分
5. 5. 将杨辉三角中的每一个数Cr n 都换成分数 1 (n + 1)Cr n , 就得到一个如下 图所示的分数三角形, 成为莱布尼茨三角形, 从莱布尼茨三角形可看出 1 (n + 1)Cr n + 1 (n + 1)Cx n = 1 nCr n−1 , 其中x = , 令an = 1 3 + 1 12 + 1 30 + 1 60 + · · · + 1 nC2 n−1 + 1 (n + 1)C2 n , 则lim n→∞an = . 1 1 1 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 1 12 1 4 1 5 1 20 1 30 1 20 1 5 1 6 1 30 1 60 1 60 1 30 1 6 1 7 1 42 1 105 1 140 1 105 1 42 1 7 · · · · · · 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = #»a · (#»b + #»c ), 其中向量#»a = (sin x, −cos x), #»b = (sin x, −3 cos x), #»c = (−cos x, sin x), x ∈R. (1) 求函数f(x) 的最大值和最小正周期; (2) 将函数f(x) 的图像按向量#»d 平移, 使平移后得到的图像关于坐标原 点成中心对称, 求长度最小的#»d .
2. 2. 已知二次函数y = f(x) 的图象经过坐标原点, 其导函数为f ′(x) = 6x −2, 数列{an} 的前n 项和为Sn, 点(n, Sn) (n ∈N∗) 均在函数y = f(x) 的 图象上. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = 3 anan+1 , Tn 是数列{bn} 的前n 项和, 求使得Tn < m 20 对所有 n ∈N∗都成立的最小正整数m. 294
3. 3. 如图, 在棱长为1 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中, P 是侧棱CC1 上的 一点, CP = m. (1) 试确定m, 使直线AP 与平面BDD1B1 所成角的正切值为3 √ 2; (2) 在线段A1C1 上是否存在一个定点Q, 使得对任意的m, D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于AP, 并证明你的结论. A B C D A1 B1 C1 D1
4. 4. 在某校举行的数学竞赛中, 全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N(70, 100). 已知成绩在90 分以上(含90 分) 的学生有12 名. (1) 试问此次参赛学生总数约为多少人? (2) 若该校计划奖励竞赛成绩排在前50 名的学生, 试问设奖的分数线约为 多少分? 可供查阅的(部分) 标准正态分布表Φ(x0) = P(x < x0) x0 0 1 2 3 4 1.2 0.8849 0.8869 0.888 0.8907 0.8925 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 x0 5 6 7 8 9 1.2 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
5. 5. 设A、B 分别为椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a, b > 0) 的左、右顶点, 椭圆长半轴 的长等于焦距, 且x = 4 为它的右准线. (1) 求椭圆的方程; (2) 设P 为右准线上不同于点(4, 0) 的任意一点, 若直线AP, BP 分别与 椭圆相交于异于A, B 的点M、N, 证明点B 在以MN 为直径的圆内.
6. 6. 设x = 3 是函数f(x) = (x2 + ax + b)e3−x (x ∈R) 的一个极值点. (1) 求a 与b 的关系式(用a 表示b), 并求f(x) 的单调区间; (2) 设a > 0, g(x) = ( a2 + 25 4 ) ex. 若存在ξ1, ξ2 ∈[0, 4] 使得 |f(ξ1) −g(ξ2)| < 1 成立, 求a 的取值范围. 295

原卷配图（含真实几何/应用题图示）