2006年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年湖南（文科）），共 3 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 3 题）

1. 1. 已知函数f(x) = ax3 −3x2 + 1 −3 a. (1) 讨论函数f(x) 的单调性; (2) 若曲线y = f(x) 上两点A、B 处的切线都与y 轴垂直, 且线段AB 与 x 轴有公共点, 求实数a 的取值范围.
2. 2. 在m (m ⩾2) 个不同数的排列P1P2 · · · Pm 中, 若1 ⩽i ⩽j ⩽m 时 Pi > Pj (即前面某数大于后面某数), 则称Pi 与Pj 构成一个逆序. 一个排 列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列(n + 1)n(n −1) · · · 321 的逆序数为an, 如排列21 的逆序数a1 = 1, 排列321 的逆序数a2 = 3, 排 列4321 的逆序数a3 = 6. (1) 求a4、a5, 并写出an 的表达式; (2) 令bn = an an+1 + an+1 an , 证明: 2n < b1+b2+· · · bn < 2n+3, n = 1, 2, · · · .
3. 3. 已知椭圆C1: x2 4 + y2 3 = 1, 抛物线C2: (y −m)2 = 2px (p > 0), 且C1、 C2 的公共弦AB 过椭圆C1 的右焦点. (1) 当AB ⊥x 轴时, 求m、p 的值, 并判断抛物线C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2) 若p = 4 3 且抛物线C2 的焦点在直线AB 上, 求m 的值及直线AB 的 方程. 301

原卷配图（含真实几何/应用题图示）