2006年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年湖南（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 函数y = √ log2 x −2 的定义域是 ( ) 5分
   A. (3, +∞) B. [3, +∞) C. (4, +∞) D. [4, +∞)
2. 2. 若数列{an} 满足: a1 = 1 3, 且对任意正整数m, n 都有am+n = am · an, 则 lim n→+∞(a1 + a2 + · · · + an) = ( ) 2 3 2 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3. 3. 过平行六面体ABCD −A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线, 其中与平 面DBB1D1 平行的直线共有 ( ) 5分
   A. 4 条 B. 6 条 C. 8 条 D. 12 条
4. 4. “a = 1”是“函数f(x) = |x −a| 在区间[1, +∞) 上为增函数”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 已知|#»a | = 2 #»b ̸ = 0, 且关于x 的方程x2 + |#»a | x + #»a · #»b = 0 有实根, 则 #»a 与#»b 的夹角的取值范围是 ( ) (A) [ 0, π 6 ] (B) [π 3 , π ] (C) [π 3 , 2π 3 ] (D) [π 6 , π ] 5分
6. 6. 某外商计划在4 个候选城市投资3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的 项目不超过2 个, 则该外商不同的投资方案有 ( ) 5分
   A. 16 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 60 种
7. 7. 过双曲线M : x2 −y2 b2 = 1 的左顶点A 作斜率为1 的直线l, 若l 与双曲 线M 的两条渐近线分别相交于点B, C, 且|AB| = |BC|, 则双曲线M 的 离心率是 ( ) (A) √ 10 (B) √ 5 (C) √ 10 3 (D) √ 5 2 5分
8. 8. 设函数f(x) = x −a x −1, 集合M = {x | f(x) < 0}, P = {x | f ′(x) > 0}, 若 M ⫋P, 则实数a 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, 1) B. (0, 1) C. (1, +∞) D. [1, +∞)
9. 9. 棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个 截面如图, 则图中三角形(正四面体的截面) 的面积是 ( ) (A) √ 2 2 (B) √ 3 2 (C) √ 2 (D) √ 3 5分
10. 10. 若圆x2+y2−4x−4y−10 = 0 上至少有三个不同的点到直线l: ax+by = 0 的距离为2 √ 2, 则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) (A) [ π 12, π 4 ] (B) [ π 12, 5π 12 ] (C) [π 6 , π 3 ] (D) [ 0, π 2 ] 5分

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若(ax −1)5 的展开式中x3 的系数是−80, 则实数a 的值是 . 5分
2. 2. 已知        x ⩾1, x −y + 1 ⩽0, 2x −y −2 ⩽0, 则x2 + y2 的最小值是 . 5分
3. 3. 曲线y = 1 x 和y = x2 在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的 面积是 . 5分
4. 4. 若f(x) = a sin ( x + π 4 ) + b sin ( x −π 4 ) (ab̸ = 0) 是偶函数, 则有序实数 对(a, b) 可以是 . (写出你认为正确的一组数字即可) 5分
5. 5. 如图, OM AB, 点P 在由射线OM、线段OB 及AB 的延长线围成的区 域内(不含边界) 运动, 且# » OP = x# » OA + y# » OB, 则x 的取值范围是 ; 当x = −1 2 时, y 的取值范围是 . O A B M P 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, D 是直角△ABC 斜边BC 上一点, AB = AD, 记∠CAD = α, ∠ABC = β. (1) 证明: sin α + cos 2β = 0; (2) 若AC = √ 3DC, 求β 的值. A C B D β α
2. 2. 某安全生产监督部门对5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不 合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安 检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改 后安检合格的概率是0.8, 计算(结果精确到0.01): (1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (2) 平均有多少家煤矿必须整改; (3) 至少关闭一家煤矿的概率.
3. 3. 如图, 已知两个正四棱锥P −ABCD 与Q −ABCD 的高分别为1 和2, AB = 4. (1) 证明: PQ ⊥平面ABCD; (2) 求异面直线AQ 与PB 所成的角; (3) 求点P 到平面QAD 的距离. A B C D P Q 298
4. 4. 已知函数f(x) = x −sin x, 数列{an} 满足: 0 < a1 < 1, an+1 = f(an), n = 1, 2, 3, · · · . 证明: (1) 0 < an+1 < an < 1; (2) an+1 < 1 6an3.
5. 5. 对1 个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁 度定义为: 1 − 污物质量 物体质量(含污物)) 为0.8, 要求洗完后的清洁度是0.99. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 两次清洗. 该物体初次 清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a (1 ⩽a ⩽3). 设用x 单位质量 的水初次清洗后的清洁度是x + 0.8 x + 1 (x > a −1), 用y 单位质量的水第二 次清洗后的清洁度是y + ac y + a , 其中c (0.8 < c < 0.99) 是该物体初次清洗 后的清洁度. (1) 分别求出方案甲以及c = 0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案 用水量较少; (2) 若采用方案乙, 当a 为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水 量, 使总用水量最少? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
6. 6. 已知椭圆C1: x2 4 + y2 3 = 1, 抛物线C2: (y −m)2 = 2px (p > 0), 且C1、 C2 的公共弦AB 过椭圆C1 的右焦点. (1) 当AB ⊥x 轴时, 求m、p 的值, 并判断抛物线C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2) 是否存在m、p 的值, 使抛物线C2 的焦点恰在直线AB 上? 若存在, 求出符合条件的m、p 的值; 若不存在, 请说明理由. 299

原卷配图（含真实几何/应用题图示）