2006年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年福建（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设a、b、c、d ∈R, 则复数(a + bi)(c + di) 为实数的充要条件是 ( ) 5分
   A. ad −bc = 0 B. ac −bd = 0 C. ac + bd = 0 D. ad + bc = 0
2. 2. 在等差数列{an} 中, 已知a1 = 2, a2 + a3 = 13, 则a4 + a5 + a6 等于( ) 5分
   A. 40 B. 42 C. 43 D. 45
3. 3. 已知α ∈ (π 2 , π ) , sin α = 3 5, 则tan ( α + π 4 ) 等于 ( ) 7 7 5分
   A. 1 B. 7 C. −1 D. −7
4. 4. 已知全集U = R, 且A = {x | |x −1| > 2}, B = {x | x2 −6x + 8 < 0}, 则 (∁UA) ∩B 等于 ( ) 5分
   A. [−1, 4) B. (2, 3) C. (2, 3] D. (−1, 4)
5. 5. 已知正方体外接球的体积是32 3 π, 那么正方体的棱长等于 ( ) √ 2 √ 3 3 √ 2 3 √ 3 3 5分
   A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
6. 6. 在一个口袋中装有5 个白球和3 个黑球, 这些球除颜色外完全相同, 从中 摸出3 个球, 至少摸到2 个黑球的概率等于 ( ) 7 8 7 28 5分
   A. 2 B. 3 C. 3 D. 9
7. 7. 对于平面α 和共面的直线m、n, 下列命题中真命题是 ( ) α α, n α, 则m n α, 则m n n 5分
   A. 若m ⊥α, m ⊥n, 则n B. 若m C. 若m ⊂α, n D. 若m、n 与α 所成的角相等, 则m
8. 8. 函数y = log2 x x −1 (x > 1) 的反函数是 ( ) 2x 2x −1 (x > 0) 2x 2x −1 (x < 0) 2x (x > 0) 2x (x < 0) 5分
   A. y = B. y = C. y = 2x −1 D. y = 2x −1
9. 9. 已知函数f(x) = 2 sin ωx (ω > 0) 在区间 [ −π 3 , π 4 ] 上的最小值是−2, 则 ω 的最小值等于 ( ) 3 2 5分
   A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
10. 10. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F, 若过点F 且倾斜 角为60◦的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此双曲线离心率的 取值范围是 ( ) 5分
    A. (1, 2] B. (1, 2) C. [2, +∞) D. (2, +∞)
11. 11. 已知 # » OA  = 1, # » OB  = √ 3, # » OA · # » OB = 0, 点C 在∠AOB 内, 且 ∠AOC = 30◦. 设# » OC = m# » OA + n# » OB (m、n ∈R), 则m n 等于 ( ) 3 (C) √ 3 3 (D) √ 3 5分
    A. 1 B. 3
12. 12. 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1, y1)、B(x2, y2), 定义它们之间的一 种“距离”: ||AB|| = |x2 −x1| + |y2 −y1|. 给出下列三个命题: ①若点C 在线段AB 上, 则||AC|| + ||CB|| = ||AB||; ②在△ABC 中, 若∠C = 90◦, 则||AC||2 + ||CB||2 = ||AB||2; ③在△ABC 中, ||AC|| + ||CB|| > ||AB||. 其中真命题的个数为 ( ) 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( x2 −1 x )5 展开式中x4 的系数是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 已知直线x −y −1 = 0 与抛物线y = ax2 相切, 则a = . 5分
3. 3. 一个均匀小正方体的六个面中, 三个面上标以数0, 两个面上标以数1, 一 个面上标以数2. 将这个小正方体抛掷2 次, 则向上的数之积的数学期望 是 . 5分
4. 4. 如图, 连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A1B1C1, 又连结△A1B1C1 的各边中点得到一个新的△A2B2C2, 如此无限继续下去, 得到一系列三角 形: △ABC, △A1B1C1, △A2B2C2, · · · , 这一系列三角形趋向于一个点M. 已知A(0, 0), B(3, 0), C(2, 2), 则点M 的坐标是 . y x C A B C1 A1 B1 C2 B2 A2 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = sin2 x + √ 3 sin x cos x + 2 cos2 x, x ∈R. (1) 求函数f(x) 的最小正周期和单调增区间; (2) 函数f(x) 的图象可以由函数y = sin 2x (x ∈R) 的图象经过怎样的变 换得到?
2. 2. 如图, 四面体ABCD 中, O、E 分别是BD、BC 的中点, CA = CB = CD = BD = 2, AB = AD = √ 2. (1) 求证: AO ⊥平面BCD; (2) 求异面直线AB 与CD 所成角的大小; (3) 求点E 到平面ACD 的距离. A B C D O E •
3. 3. 统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升) 关于行驶 速度x (千米/小时) 的函数解析式可以表示为: y = 1 128000x3 −3 80x + 8 (0 < x ⩽120). 已知甲、乙两地相距100 千米. (1) 当汽车以40 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地要耗油多少 升? (2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少 升? 288
4. 4. 已知椭圆x2 2 + y2 = 1 的左焦点为F, O 为坐标原点. (1) 求过点O、F, 并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程; (2) 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点, 线段AB 的 垂直平分线与x 轴交于点G, 求点G 横坐标的取值范围. y B x A F G O l
5. 5. 已知函数f(x) = −x2 + 8x, g(x) = 6 ln x + m. (1) 求f(x) 在区间[t, t + 1] 上的最大值h(t); (2) 是否存在实数m, 使得y = f(x) 的图象与y = g(x) 的图象有且只有 三个不同的交点? 若存在, 求出m 的取值范围; 若不存在, 说明理由.
6. 6. 已知数列{an} 满足a1 = 1, an+1 = 2an + 1 (n ∈N∗). (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若数列{bn} 满足4b1−14b2−14b3−1 · · · 4bn−1 = (an + 1)bn (n ∈N∗), 证 明{bn} 是等差数列; (3) 证明: n 2 −1 3 < a1 a2 + a2 a3 + · · · + an an+1 < n 2 (n ∈N∗). 289

原卷配图（含真实几何/应用题图示）