2006年辽宁（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年辽宁（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 函数y = sin (1 2x + 3 ) 的最小正周期是 ( ) 2 5分
   A. π B. π C. 2π D. 4π
2. 2. 设集合A = {1, 2}, 则满足A ∪B = {1, 2, 3} 的集合B 的个数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
3. 3. 设f(x) 是R 上的任意函数, 则下列叙述正确的是 ( ) 5分
   A. f(x)f(−x) 是奇函数 B. f(x)|f(−x)| 是奇函数 C. f(x) + f(−x) 是偶函数 D. f(x) −f(−x) 是偶函数
4. 4. C1 6 + C2 6 + C3 6 + C4 6 + C5 6 的值为 ( ) 5分
   A. 61 B. 62 C. 63 D. 64
5. 5. 方程2x2 −5x + 2 = 0 的两个根可分别作为 ( ) 5分
   A. 一个椭圆和一双曲线的离心率 B. 两抛物线的离心率 C. 一个椭圆和一抛物线的离心率 D. 两椭圆的离心率
6. 6. 给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行; ③若直线l1, l2 与同一平面所成的角相等, 则l1, l2 互相平行; ④若直线l1, l2 是异面直线, 则与l1, l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 7. 双曲线x2 −y2 = 4 的两条渐近线与直线x = 3 围成一个三角形区域, 表 示该区域的不等式组是 ( ) (A)        x −y ⩾0, x + y ⩾0, 0 ⩽x ⩽3. (B)        x −y ⩾0, x + y ⩽0, 0 ⩽x ⩽3. (C)        x −y ⩽0, x + y ⩽0, 0 ⩽x ⩽3. (D)        x −y ⩽0, x + y ⩾3, 0 ⩽x ⩽3. 5分
8. 8. 设⊕是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集, 若对任意a, b ∈A, 有 (除数不等于零) 四则运算都封闭的是 ( ) 5分
   A. ⊕b ∈A, 则称A 对运算⊕封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法 A. 自然数集 B. 整数集 C. 有理数集 D. 无理数集
9. 9. △ABC 的三内角A, B, C, 所对边的长分别为a, b, c, 设向量#»p = (a+c, b)、 #»q = (b −a, c −a). 若#»p #»q , 则角C 的大小为 ( ) 6 3 2 3 5分
   A. π B. π C. π D. 2π
10. 10. 已知等腰△ABC 的腰为底的2 倍, 则顶角A 的正切值是 ( ) (A) √ 3 2 (B) √ 3 (C) √ 15 8 (D) √ 15 7 5分
11. 11. 与方程y = e2x −2ex + 1 (x ⩾0) 的曲线关于直线y = x 对称的曲线方程 为 ( ) 5分
    A. y = ln(1 + √x) B. y = ln(1 −√x) C. y = −ln(1 + √x) D. y = −ln(1 −√x)
12. 12. 曲线 x2 10 −m + y2 6 −m = 1 (m < 6) 与曲线 x2 5 −n + y2 9 −n = 1 (5 < n < 9) 的 ( ) 5分
    A. 离心率相等 B. 焦距相等 C. 焦点相同 D. 准线相同

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 方程log2(x −1) = 2 −log2(x + 1) 的解为 . 5分
2. 2. 设g(x) = { ex, x ⩽0, ln x, x > 0, 则g ( g (1 2 )) = . 5分
3. 3. 如图, 半径为2 的半球内有一内接正六棱锥P −ABCDEF, 则此正六棱 锥的侧面积是 . A F B C D E P • 5分
4. 4. 5 名乒乓球队员中, 有2 名老队员和3 名新队员. 现从中选出3 名队员排 成1、2、3 号参加团体比赛, 则入选的3 名队员中至少有1 名老队员, 且 1、2 号中至少有1 名新队员的排列方法有 种. (以数作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = sin2 x + 2 sin x cos x + 3 cos2 x, x ∈R. 求: (1) 函数f(x) 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合; (2) 函数f(x) 的单调增区间.
2. 2. 甲、乙两班各派2 名同学参加年级数学竞赛, 参赛同学成绩及格的概率都 为0.6, 且参赛同学的成绩相互之间没有影响. 求: (1) 甲、乙两班参赛同学中各有1 名同学成绩及格的概率; (2) 甲、乙两班参赛同学中至少有1 名同学成绩及格的概率.
3. 3. 已知正方形ABCD, E、F 分别是边AB、CD 的中点, 将△ADE 沿DE 折起, 如图所示, 记二面角A −DE −C 的大小为θ (0 < θ < π). (1) 证明: BF 平面ADE; (2) 若△ACD 为正三角形, 试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否 在直线EF 上, 证明你的结论, 并求角θ 的余弦值. A D B E F C B C E F D A 310
4. 4. 已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn = pn2 −2n + q (p, q ∈R), n ∈N+. (1) 求q 的值; (2) 若a1 与a5 的等差中项为18, bn 满足an = 2 log2 bn, 求数列{bn} 的 前n 项和.
5. 5. 已知函数f(x) = 1 3ax3 + (a + d)x2 + (a + 2d)x + d, g(x) = ax2 + 2(a + 2d)x + a + 4d, 其中a > 0, d > 0, 设x0 为f(x) 的极小值点, x1 为g(x) 的极值点, g(x2) = g(x3) = 0, 并且x2 < x3. 将点(x0, f(x0)), (x1, g(x1)), (x2, 0), (x3, 0) 依次记为A, B, C, D. (1) 求x0 的值; (2) 若四边形APCD 为梯形且面积为1, 求a, d 的值.
6. 6. 已知点A(x1, y1)、B(x2, y2) (x1, x2̸ = 0) 是抛物线y2 = 2px (p > 0) 上的 两个动点, O 是坐标原点, 向量# » OA、# » OB 满足 # » OA + # » OB  = # » OA −# » OB . 设圆C 的方程为x2 + y2 −(x1 + x2)x −(y1 + y2)y = 0. (1) 证明线段AB 是圆C 的直径; (2) 当圆C 的圆心到直线x −2y = 0 的距离的最小值为2 √ 5 5 时, 求p 的 值. 311

原卷配图（含真实几何/应用题图示）