2006年辽宁（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年辽宁（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {1, 2}, 则满足A ∪B = {1, 2, 3} 的集合B 的个数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
2. 2. 设f(x) 是R 上的任意函数, 则下列叙述正确的是 ( ) 5分
   A. f(x)f(−x) 是奇函数 B. f(x)|f(−x)| 是奇函数 C. f(x) −f(−x) 是偶函数 D. f(x) + f(−x) 是偶函数
3. 3. 给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行; ③若直线l1, l2 与同一平面所成的角相等, 则l1, l2 互相平行; ④若直线l1, l2 是异面直线, 则与l1, l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 4. 双曲线x2 −y2 = 4 的两条渐近线与直线x = 3 围成一个三角形区域, 表 示该区域的不等式组是 ( ) (A)        x −y ⩾0, x + y ⩾0, 0 ⩽x ⩽3. (B)        x −y ⩾0, x + y ⩽0, 0 ⩽x ⩽3. (C)        x −y ⩽0, x + y ⩽0, 0 ⩽x ⩽3. (D)        x −y ⩽0, x + y ⩾3, 0 ⩽x ⩽3. 5分
5. 5. 设⊕是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集, 若对任意a, b ∈A, 有 (除数不等于零) 四则运算都封闭的是 ( ) 5分
   A. ⊕b ∈A, 则称A 对运算⊕封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法 A. 自然数集 B. 整数集 C. 有理数集 D. 无理数集
6. 6. △ABC 的三内角A, B, C, 所对边的长分别为a, b, c, 设向量#»p = (a+c, b)、 #»q = (b −a, c −a). 若#»p #»q , 则角C 的大小为 ( ) 6 3 2 3 5分
   A. π B. π C. π D. 2π
7. 7. 与方程y = e2x −2ex + 1 (x ⩾0) 的曲线关于直线y = x 对称的曲线方程 为 ( ) 5分
   A. y = ln(1 + √x) B. y = ln(1 −√x) C. y = −ln(1 + √x) D. y = −ln(1 −√x)
8. 8. 曲线 x2 10 −m + y2 6 −m = 1 (m < 6) 与曲线 x2 5 −n + y2 9 −n = 1 (5 < n < 9) 的 ( ) 5分
   A. 焦距相等 B. 离心率相等 C. 焦点相同 D. 准线相同
9. 9. 在等比数列{an} 中, a1 = 2, 前n 项和为Sn, 若数列{an + 1} 也是等比 数列, 则Sn 等于 ( ) 5分
   A. 2n+1 −2 B. 3n C. 2n D. 3n −1
10. 10. 直线y = 2k 与曲线9k2x2 + y2 = 18k2|x| (k ∈R, 且k̸ = 0) 的公共点的 个数为 ( ) 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 11. 已知函数f(x) = 1 2(sin x + cos x) −1 2 |sin x −cos x|, 则f(x) 的值域是( ) (B) [ − √ 2 2 , 1 ] (C) [ −1, √ 2 2 ] (D) [ −1, − √ 2 2 ] 5分
    A. [−1, 1]
12. 12. 设O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1), 点P 是线段AB 上的一个动点, # » AP = λ# » AB, 若# » OP · # » AB ⩾# » PA · # » PB, 则实数λ 的取值范围是 ( ) 2 ⩽λ ⩽1 √ 2 2 ⩽λ ⩽1 2 ⩽λ ⩽1 + √ 2 2 √ 2 2 ⩽λ ⩽1 + √ 2 2 5分
    A. 1 B. 1 − C. 1 D. 1 −

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设g(x) = { ex, x ⩽0, ln x, x > 0, 则g ( g (1 2 )) = . 5分
2. 2. lim n→∞ (4 5 −6 7 ) + ( 4 52 −6 72 ) + · · · + ( 4 5n −6 7n ) (5 6 −4 5 ) + ( 5 62 −4 52 ) + · · · + ( 5 6n −4 5n ) = . 5分
3. 3. 5 名乒乓球队员中, 有2 名老队员和3 名新队员. 现从中选出3 名队员排 成1、2、3 号参加团体比赛, 则入选的3 名队员中至少有1 名老队员, 且 1、2 号中至少有1 名新队员的排列方法有 种. (以数作答) 5分
4. 4. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α, 则cos α = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = sin2 x + 2 sin x cos x + 3 cos2 x, x ∈R. 求: (1) 函数f(x) 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合; (2) 函数f(x) 的单调增区间.
2. 2. 已知正方形ABCD, E、F 分别是边AB、CD 的中点, 将△ADE 沿DE 折起, 如图所示, 记二面角A −DE −C 的大小为θ (0 < θ < π). (1) 证明: BF 平面ADE; (2) 若△ACD 为正三角形, 试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否 在直线EF 上, 证明你的结论, 并求角θ 的余弦值. A D B E F C B C E F D A
3. 3. 现有甲、乙两个项目, 对甲项目每投资〸万元, 一年后利润是1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为1 6、1 2、1 3; 已知乙项目的利润与产品价格的 调整有关, 在每次调整中, 价格下降的概率都是p (0 < p < 1), 设乙项目产 品价格在一年内进行2 次独立的调整, 记乙项目产品价格在一年内的下降 次数为ξ, 对乙项目每投资〸万元, ξ 取0、1、2 时, 一年后相应利润是1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元. 随机变量ξ1、ξ2 分别表示对甲、乙两项目各 投资〸万元一年后的利润. (1) 求ξ1、ξ2 的概率分布和数学期望Eξ1、Eξ2; (2) 当Eξ1 < Eξ2 时, 求p 的取值范围. 308
4. 4. 已知点A(x1, y1)、B(x2, y2) (x1, x2̸ = 0) 是抛物线y2 = 2px (p > 0) 上的 两个动点, O 是坐标原点, 向量# » OA、# » OB 满足 # » OA + # » OB  = # » OA −# » OB . 设圆C 的方程为x2 + y2 −(x1 + x2)x −(y1 + y2)y = 0. (1) 证明线段AB 是圆C 的直径; (2) 当圆C 的圆心到直线x−2y = 0 的距离的最小值为2 √ 5 5 时, 求p 的值.
5. 5. 已知函数f(x) = 1 3ax3 + bx2 + cx + d, 其中a, b, c 是以d 为公差的等差数 列, 且a > 0, d > 0. 设x0 为f(x) 的极小值点. 在 [ 1 −2b ] 上, f ′(x) 在x1 处取得最大值, 在x2 处取得最小值. 将(x0, f(x0)), (x1, f ′(x1)), (x2, f ′(x2)) 依次记为A, B, C. (1) 求x0; (2) 若△ABC 有一边平行于x 轴, 且面积为2 + √ 3, 求a, d 的值.
6. 6. 已知f0(x) = xn, fk(x) = f ′ k−1(x) fk−1(1), 其中k ⩽n (n, k ∈N+), 设 F(x) = C0 nf0(x2) + C1 nf1(x2) + · · · + Cn nfn(x2), x ∈[−1, 1]. (1) 写出fk(1); (2) 证明: 对任意的x1, x2 ∈[−1, 1], 恒有|F(x1) −F(x2)| ⩽2n−1(n + 2) − n −1. 309

原卷配图（含真实几何/应用题图示）