2006年重庆（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年重庆（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 4, 5, 7}, B = {3, 4, 5}, 则 (∁UA) ∪(∁UB) = ( ) 5分
   A. {1, 6} B. {4, 5} C. {2, 3, 4, 5, 7}(D) {1, 2, 3, 6, 7}
2. 2. 在等比数列{an} 中, 若an > 0 且a3a7 = 64, 则a5 的值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 3. 以点(2, −1) 为圆心且与直线3x −4y + 5 = 0 相切的圆的方程为 ( ) 5分
   A. (x −2)2 + (y + 1)2 = 3 B. (x + 2)2 + (y −1)2 = 3 C. (x −2)2 + (y + 1)2 = 9 D. (x + 2)2 + (y −1)2 = 9
4. 4. 若P 是平面α 外一点, 则下列命题正确的是 ( ) 5分
   A. 过P 只能作一条直线与平面α 相交 B. 过P 可作无数条直线与平面α 垂直 C. 过P 只能作一条直线与平面α 平行 D. 过P 可作无数条直线与平面α 平行
5. 5. (2x −3)5 的展开式中x2 项的系数为 ( ) 5分
   A. −2160 B. −1080 C. 1080 D. 2160
6. 6. 设函数y = f(x) 的反函数为y = f −1(x), 且y = f(2x −1) 的图象过点 (1 2, 1 ) , 则y = f −1(x) 的图象必过点 ( ) (A) (1 2, 1 ) (B) ( 1, 1 2 ) 5分
   C. (1, 0) D. (0, 1)
7. 7. 某地区有300 家商店, 其中大型商店有30 家, 中型商店有75 家, 小型商 店有195 家. 为了掌握各商店的营业情况, 要从中抽取一个容量为20 的样 本. 若采用分层抽样的方法, 抽取的中型商店数是 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 5 D. 13
8. 8. 已知三点A(2, 3), B(−1, −1), C(6, k), 其中k 为常数. 若 # » AB  = # » AC , 则# » AB 与# » AC 的夹角为 ( ) 25) 2 或arccos 24 25 25 2 或π −arccos 24 25 5分
   A. arccos(−24 B. π C. arccos 24 D. π
9. 9. 高三(一) 班需要安排毕业晚会的4 个音乐节目, 2 个舞蹈节目和1 个曲艺 节目的演出顺序, 要求两个舞蹈节目不连排, 则不同排法的种数是 ( ) 5分
   A. 1800 B. 3600 C. 4320 D. 5040
10. 10. 若α, β ∈ ( 0, π 2 ) , cos ( α −β 2 ) = √ 3 2 , sin (α 2 −β ) = −1 2, 则cos(α + β) 的值等于 ( ) √ 3 2 2 2 (D) √ 3 2 5分
    A. − B. −1 C. 1
11. 11. 设A(x1, y1), B ( 4, 9 5 ) , C(x2, y2) 是右焦点为F 的椭圆x2 25 + y2 9 = 1 上三 个不同的点, 则“|AF|, |BF|, |CF| 成等差数列”是“x1 + x2 = 8”的 ( ) 5分
    A. 充要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 12. 若a, b, c > 0 且a2 + 2ab + 2ac + 4bc = 12, 则a + b + c 的最小值是( ) √ 3 (D) √ 3 5分
    A. 2 B. 3 C. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知sin α = 2 √ 5 5 , π 2 < α < π, 则tan α = . 5分
2. 2. 在数列{an} 中, 若a1 = 1, an+1 = an + 2 (n ⩾1), 则该数列的通项 an = . 5分
3. 3. 设a > 0, a̸ = 1, 函数f(x) = loga(x2 −2x + 3) 有最小值, 则不等式 loga(x −1) > 0 的解集为 . 5分
4. 4. 已知变量x, y 满足约束条件        x + 2y −3 ⩽0, x + 3y −3 ⩾0, y −1 ⩽0, 若目标函数z = ax + y (其 中a > 0) 仅在点(3, 0) 处取得最大值, 则a 的取值范围为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 甲、乙、丙三人在同一办公室工作, 办公室里只有一部电话机, 设经该机打 进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为1 6、1 3、1 2. 若在一段时间内打进 三个电话, 且各个电话相互独立. 求: (1) 这三个电话是打给同一个人的概率; (2) 这三个电话中恰有两个是打给甲的概率.
2. 2. 设函数f(x) = √ 3 cos2 ωx + sin ωx cos ωx + a (其中ω > 0, a ∈R), 且 f(x) 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π 6 . (1) 求ω 的值; (2) 如果f(x) 在区间 [ −π 3 , 5π 6 ] 上的最小值为 √ 3, 求a 的值.
3. 3. 设函数f(x) = x3 −3ax2 + 3bx 的图象与直线12x + y −1 = 0 相切于点 (1, −11). (1) 求a, b 的值; (2) 讨论函数f(x) 的单调性. 286
4. 4. 如图, 在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AB = 1, BB1 = √ 3 + 1, E 为 BB1 上使B1E = 1 的点, 平面AEC1 交DD1 于F, 交A1D1 的延长线于 (1) 异面直线AD 与C1G 所成角的大小; (2) 二面角A −C1G −A1 的正切值. A1 B1 C1 D1 E F G A B C D
5. 5. 已知定义域为R 的函数f(x) = −2x + b 2x+1 + a 是奇函数. (1) 求a, b 的值; (2) 若对任意的t ∈R, 不等式f(t2 −2t) + f(2t2 −k) < 0 恒成立, 求k 的 取值范围.
6. 6. 如图, 对每个正整数n, An(xn, yn) 是抛物线x2 = 4y 上的点, 过焦点F 的 直线FAn 交抛物线于另一点Bn(sn, tn). (1) 试证: xnsn = −4 (n ⩾1); (2) 取xn = 2n, 并记Cn 为抛物线上分别以An 与Bn 为切点的两条切线 的交点. 试证: |FC1| + |FC2| + · · · + |FCn| = 2n −2−n+1 + 1. F A1 A2 B1 x y Cn B2 Bn O An 287

原卷配图（含真实几何/应用题图示）