2006年重庆（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年重庆（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 4, 5, 7}, B = {3, 4, 5}, 则 (∁UA) ∪(∁UB) = ( ) 5分
   A. {1, 6} B. {4, 5} C. {2, 3, 4, 5, 7}(D) {1, 2, 3, 6, 7}
2. 2. 在等差数列{an} 中, 若a4 + a6 = 12, Sn 是数列{an} 的前n 项和, 则S9 的值为 ( ) 5分
   A. 48 B. 54 C. 60 D. 66
3. 3. 过坐标原点且与圆x2 + y2 −4x + 2y + 5 2 = 0 相切的直线的方程为 ( ) 3x 3x 3x 3x 5分
   A. y = −3x 或y = 1 B. y = 3x 或y = −1 C. y = −3x 或y = −1 D. y = 3x 或y = 1
4. 4. 对于任意的直线l 与平面α, 在平面α 内必有直线m, 使m 与l ( ) 5分
   A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 互为异面直线
5. 5. 若 ( 3√x −1 √x )n 的展开式中各项系数之和为64, 则展开式的常数项 为 ( ) 5分
   A. −540 B. −162 C. 162 D. 540
6. 6. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况, 抽查了该地区100 名年龄为 17.5 岁−18 岁的男生体重(kg), 得到频率分布直方图如下: 频率 组距 0 体重(kg) 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 0.03 0.05 0.07 根据上图可得这100 名学生中体重在[56.5, 64.5) 的学生人数是 ( ) 5分
   A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
7. 7. 与向量a = (7 2, 1 2 ) , b = (1 2, −7 2 ) 的夹角相等, 且模为1 的向量是 ( ) (A) (4 5, −3 5 ) (B) (4 5, −3 5 ) 或 ( −4 5, 3 5 ) (C) ( 2 √ 2 3 , −1 3 ) (D) ( 2 √ 2 3 , −1 3 ) 或 ( −2 √ 2 3 , 1 3 ) 5分
8. 8. 将5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习, 每班至少1 名, 最多2 名, 则不同的分配方案有 ( ) 5分
   A. 30 种 B. 90 种 C. 180 种 D. 270 种
9. 9. 如图所示, 单位圆中弧˜ AB 的长为x, f(x) 表示弧˜ AB 与弦AB 所围成的 弓形面积的2 倍, 则函数y = f(x) 的图象是 ( ) A B x O • (A) π x y 2π π O 2π (B) π x y 2π π O 2π (C) π x y 2π π O 2π (D) π x y 2π π O 2π 5分
10. 10. 若a, b, c > 0 且a(a + b + c) + bc = 4 −2 √ 3, 则2a + b + c 的最小值为( ) (A) √ 3 −1 (B) √ 3 + 1 √ 3 + 2 √ 3 −2 5分
    C. 2 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 复数1 + 2i 3 + i3 的值是 . 5分
2. 2. lim n→∞ 1 + 3 + · · · + (2n −1) 2n2 −n + 1 = . 5分
3. 3. 已知α, β ∈ (3π 4 , π ) , sin(α + β) = −3 5, sin ( β −π 4 ) = 12 13, 则 cos ( α + π 4 ) = . 5分
4. 4. 在数列{an} 中, 若a1 = 1, an+1 = 2an + 3 (n ⩾1), 则该数列的通项 an = . 5分
5. 5. 设a > 0, a̸ = 1, 函数f(x) = alg(x2−2x+3) 有最大值, 则不等式 loga(x2 −5x + 7) > 0 的解集为 . 5分
6. 6. 已知变量x, y 满足约束条件1 ⩽x + y ⩽4, −2 ⩽x −y ⩽2. 若目标函 数z = ax + y (其中a > 0) 仅在点(3, 1) 处取得最大值, 则a 的取值范围 为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = √ 3 cos2 ωx + sin ωx cos ωx + a (其中ω > 0, a ∈R), 且 f(x) 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π 6 . (1) 求ω 的值; (2) 如果f(x) 在区间 [ −π 3 , 5π 6 ] 上的最小值为 √ 3, 求a 的值.
2. 2. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20 层可以停靠. 若该电 梯在底层载有5 位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 1 3, 用ξ 表示这5 位乘客在第20 层下电梯的人数, 求: (1) 随机变量ξ 的分布列; (2) 随机变量ξ 的期望. 284
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, ∠DAB 为直角, AB CD, AD = CD = 2AB, E、F 分别为PC、CD 的中点. (1) 试证: CD ⊥平面BEF; (2) 设PA = k · AB, 且二面角E −BD −C 的平面角大于30◦, 求k 的取 值范围. C B A F D P E
4. 4. 已知函数f(x) = (x2 + bx + c)ex, 其中b, c ∈R 为常数. (1) 若b2 > 4(a −1), 讨论函数f(x) 的单调性; (2) 若b2 ⩽4(c −1), 且lim x→0 f(x) −c x = 4, 试证: −6 ⩽b ⩽2.
5. 5. 已知定义域为R 的函数f(x) 满足f(f(x) −x2 + x) = f(x) −x2 + x. (1) 若f(2) = 3, 求f(1); 又若f(0) = a, 求f(a); (2) 设有且仅有一个实数x0, 使得f(x0) = x0, 求函数f(x) 的解析表达式.
6. 6. 已知一列椭圆Cn: x2 + y2 b2 n = 1, 0 < bn < 1, n = 1, 2, · · · . 若椭圆Cn 上 有一点Pn, 使Pn 到右准线ln 的距离dn 是|PnFn| 与|PnGn| 的等差中 项, 其中Fn、Gn 分别是Cn 的左、右焦点. (1) 试证: bn ⩽ √ 3 2 (n ⩾1); (2) 取bn = √2n + 3 n + 2 , 并用Sn 表示△PnFnGn 的面积, 试证: S1 < S2 且 Sn > Sn+1 (n ⩾3). Fn Gn x Pn y ln dn O 285

原卷配图（含真实几何/应用题图示）