2006年陕西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年陕西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合P = {x ∈N | 1 ⩽x ⩽10}, 集合Q = {x ∈R | x2 + x −6 ⩽0}, 则P ∩Q 等于 ( ) 5分
   A. {2} B. {1, 2} C. {2, 3} D. {1, 2, 3}
2. 2. 复数(1 + i)2 1 −i 等于 ( ) 5分
   A. 1 −i B. 1 + i C. −1 + i D. −1 −i
3. 3. lim n→∞ 1 2n( √ n2 + 1 − √ n2 −1) 等于 ( ) 2 4 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 0
4. 4. 设函数f(x) = loga(x + b) (a > 0, a̸ = 1) 的图象过点(2, 1), 其反函数的 图象过点(2, 8), 则a + b 等于 ( ) 5分
   A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5. 5. 设直线过点(0, a), 其斜率为1, 且与圆x2 + y2 = 2 相切, 则a 的值为( ) √ 2 √ 2 5分
   A. ± B. ±2 C. ±2 D. ±4
6. 6. “等式sin(α + γ) = sin 2β 成立”是“α, β, γ 成等差数列”的 ( ) 5分
   A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 已知双曲线x2 a2 −y2 2 = 1 (a > √ 2) 的两条渐近线的夹角为π 3 , 则双曲线的 离心率为 ( ) (B) √ 3 √ 6 3 √ 3 3 5分
   A. 2 C. 2 D. 2
8. 8. 已知不等式(x + y) (1 x + a y ) ⩾9 对任意正实数x, y 恒成立, 则正实数a 的最小值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 9. 已知非零向量# » AB 与# » AC 满足   # » AB # » AB  + # » AC # » AC   · # » BC = 0 且 # » AB # » AB  · # » AC # » AC  = 1 2, 则△ABC 为 ( ) 5分
   A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
10. 10. 已知函数f(x) = ax2 + 2ax + 4 (0 < a < 3). 若x1 < x2, x1 + x2 = 1 −a, 则 ( ) 5分
    A. f(x1) < f(x2) B. f(x1) = f(x2) C. f(x1) > f(x2) D. f(x1) 与f(x2) 的大小不能确定
11. 11. 已知平面α 外不共线的三点A, B, C 到α 的距离都相等, 则正确的结论 是 ( ) 5分
    A. 平面ABC 必平行于α B. 平面ABC 必与α 相交 C. 平面ABC 必不垂直于α D. 存在△ABC 的一条中位线平行于α 或在α 内
12. 12. 为确保信息安全, 信息需加密传播, 发送方由明文−→密文(加密), 接收方 由密文−→明文(解密). 已知加密规则为: 明文a, b, c, d 对应密文a + 2b, 2b + c, 2c + 3d, 4d. 例如, 明文1, 2, 3, 4 对应密文5, 7, 18, 16. 当接收方 收到密文14, 9, 23, 28 时, 则解密得到的明文为 ( ) 5分
    A. 4, 6, 1, 7 B. 7, 6, 1, 4 C. 6, 4, 1, 7 D. 1, 6, 4, 7

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. cos 43◦cos 77◦+ sin 43◦cos 167◦的值为 . 5分
2. 2. ( 3x −1 √x )12 展开式中x−3 的系数为 . (用数字作答) 5分
3. 3. 水平桌面α 上放有4 个半径均为2R 的球, 且相邻的球都相切(球心的连 线构成正方形). 在这4 个球的上面放1 个半径为R 的小球, 它和下面的 4 个球恰好都相切, 则小球的球心到水平桌面α 的距离是 . 5分
4. 4. 某校从8 名教师中选派4 名教师同时去4 个边远地区支教(每地1 人), 其中甲和乙不同去, 甲和丙只能同去或同不去, 则不同的选派方案共 有 种. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = √ 3 sin ( 2x −π 6 ) + 2 sin2 ( x −π 12 ) (x ∈R). (1) 求函数f(x) 的最小正周期; (2) 求使函数f(x) 取得最大值的x 的集合.
2. 2. 甲、乙、丙3 人投篮, 投进的概率分别是1 3、2 5、1 2. (1) 现3 人各投篮1 次, 求3 人都没有投进的概率; (2) 用ξ 表示乙投篮3 次的进球数, 求随机变量ξ 的概率分布及数学期望 Eξ.
3. 3. 如图, α ⊥β, α ∩β = l, A ∈α, B ∈β, 点A 在直线l 上的射影为A1, 点 √ 2. 求: (1) 直线AB 分别与平面α, β 所成角的大小; (2) 二面角A1 −AB −B1 的大小. B β α A A1 B1 l 324
4. 4. 已知正项数列{an}, 其前n 项和Sn 满足10Sn = a2 n + 5an + 6, 且a1, a3, a15 成等比数列, 求数列{an} 的通项an.
5. 5. 如图, 三定点A(2, 1), B(0, −1), C(−2, 1), 三动点D, E, M 满足# » AD = t# » AB, # » BE = t# » BC, # » DM = t# » DE, t ∈[0, 1]. (1) 求动直线DE 斜率的变化范围; (2) 求动点M 的轨迹方程. • • • y −1 1 x 2 1 −1 −2 C B A O E D M
6. 6. 已知函数f(x) = x3 −x2 + x 2 + 1 4, 且存在x0 ∈ ( 0, 1 2 ) , 使f(x0) = x0. (1) 证明: f(x) 是R 上的单调增函数; (2) 设x1 = 0, xn+1 = f(xn), y1 = 1 2, yn+1 = f(yn), 其中n = 1, 2, · · · . 证 明: xn < xn+1 < x0 < yn+1 < yn; (3) 证明: yn+1 −xn+1 yn −xn < 1 2. 325

原卷配图（含真实几何/应用题图示）