2002年大纲2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2002年大纲2（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. sin 210◦= ( ) (A) √ 3 2 √ 3 2 2 2 5分
   B. − C. 1 D. −1
2. 2. 函数f(x) = | sin x| 的一个单调递增区间是 ( ) (A) ( −π 4 , π 4 ) (B) (π 4 , 3π 4 ) (C) ( π, 3π 2 ) (D) (3π 2 , 2π ) 5分
3. 3. 设复数z 满足1 + 2i z = i, 则z = ( ) 5分
   A. −2 + i B. −2 −i C. 2 −i D. 2 + i
4. 4. 以下四个数中的最大者是 ( ) √ 2 5分
   A. (ln 2)2 B. ln(ln 2) C. ln D. ln 2
5. 5. 在△ABC 中, 已知D 是AB 边上一点, 若# » AD = 2# » DB, # » CD = 1 3 # » CA + λ# » CB, 则λ = ( ) 3 3 3 3 5分
   A. 2 B. 1 C. −1 D. −2
6. 6. 不等式x −1 x2 −4 > 0 的解集为 ( ) 5分
   A. (−2, 1) B. (2, +∞) C. (−2, 1) ∪(2, +∞) D. (−∞, −2) ∪(1, +∞)
7. 7. 已知正三棱柱ABC −A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等, 则AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于 ( ) (A) √ 6 4 (B) √ 10 4 (C) √ 2 2 (D) √ 3 2 5分
8. 8. 已知曲线y = x2 4 −3 ln x 的一条切线的斜率为1 2, 则切点的横坐标为( ) 2 5分
   A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
9. 9. 把函数y = ex 的图象按向量a = (2, 3) 平移, 得到y = f(x) 的图象, 则 f(x) = ( ) 5分
   A. ex−3 + 2 B. ex+3 −2 C. ex−2 + 3 D. ex+2 −3
10. 10. 从5 位同学中选派4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动, 每 人一天, 要求星期五有2 人参加, 星期六、星期日各有1 人参加, 则不同的 选派方法共有 ( ) 5分
    A. 40 种 B. 60 种 C. 100 种 D. 120 种
11. 11. 设F1, F2 分别是双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 的左、右焦点. 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2 = 90◦, 且|AF1| = 3|AF2|, 则双曲线离心率为 ( ) (A) √ 5 2 (B) √ 10 2 (C) √ 15 2 (D) √ 5 5分
12. 12. 设F 为抛物线y2 = 4x 的焦点, A、B、C 为该抛物线上三点. 若 # » FA + # » FB + # » FC = 0, 则|FA| + |FB| + |FC| = ( ) 5分
    A. 9 B. 6 C. 4 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (1 + 2x2) ( x −1 x )8 的展开式中常数项为 . (用数字作答) 5分
2. 2. 在某项测量中, 测量结果ξ 服从正态分布N(1, σ2) (σ > 0). 若ξ 在(0, 1) 内取值的概率为0.4, 则ξ 在(0, 2) 内取值的概率为 . 5分
3. 3. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上. 如果正四棱柱的 底面边长为1 cm, 那么该棱柱的表面积为 cm2. 5分
4. 4. 已知数列的通项an = −5n + 2, 其前n 项和为Sn, 则lim n→∞ Sn n2 = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 已知内角A = π 3 , 边BC = 2 √ 3, 设内角B = x, 周长为y. (1) 求函数y = f(x) 的解析式和定义域; (2) 求y 的最大值.
2. 2. 从某批产品中, 有放回地抽取产品二次, 每次随机抽取1 件, 假设事件A: “取出的2 件产品中至多有1 件是二等品”的概率P(A) = 0.96. (1) 求从该批产品中任取1 件是二等品的概率p; (2) 若该批产品共有100 件, 从中任意抽取2 件, ξ 表示取出的2 件产品中 二等品的件数, 求ξ 的分布列.
3. 3. 如图, 在四棱锥S −ABCD 中, 底面ABCD 为正方形, 侧棱SD ⊥底面 ABCD, E、F 分别是AB、SC 的中点. (1) 求证: EF 平面SAD; (2) 设SD = 2CD, 求二面角A −EF −D 的大小. A B C D F E S 363
4. 4. 在直角坐标系xOy 中, 以O 为圆心的圆与直线x − √ 3y = 4 相切. (1) 求圆O 的方程; (2) 圆O 与x 轴相交于A、B 两点, 圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB| 成等比数列, 求# » PA · # » PB 的取值范围.
5. 5. 设数列{an} 的首项a1 ∈(0, 1), an = 3 −an−1 2 , n = 2, 3, 4, · · · . (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设bn = an √3 −2an, 证明bn < bn+1 , 其中n 为正整数.
6. 6. 已知函数f(x) = x3 −x. (1) 求曲线y = f(x) 在点M(t, f(t)) 处的切线方程; (2) 设a > 0, 如果过点(a, b) 可作曲线y = f(x) 的三条切线, 证明: −a < b < f(a). 364

原卷配图（含真实几何/应用题图示）