2007年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年上海（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. 方程3x−1 = 1 9 的解是 . 5分
2. 2. 函数f(x) = 1 x −1 的反函数f −1(x) = . 5分
3. 3. 直线4x + y −1 = 0 的倾斜角θ = . 5分
4. 4. 函数y = sec x · cos ( x + π 2 ) 的最小正周期T = . 5分
5. 5. 以双曲线x2 4 −y2 5 = 1 的中心为顶点, 且以该双曲线的右焦点为焦点的抛 物线方程是 . 5分
6. 6. 若向量#»a , #»b 的夹角为60◦, |#»a | = #»b  = 1, 则#»a · (#»a −#»b ) = . 5分
7. 7. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠ACB = 90◦, AA1 = 2, AC = BC = 1, 则异面直线A1B 与AC 所成角的大小是 . (结果用反三角 函数值表示) A B C A1 B1 C1 5分
8. 8. 某工程由A, B, C, D 四道工序组成, 完成它们需用时间依次为2, 5, x, 4 天. 四道工序的先后顺序及相互关系是: A, B 可以同时开工; A 完成后, C 可以开工; BC 完成后, D 可以开工. 若该工程总时数为9 天, 则完成工序 . 5分
   C. 需要的天数x 最大是
9. 9. 在五个数字1, 2, 3, 4, 5 中, 若随机取出三个数字, 则剩下两个数字都是奇 数的概率是 . (结果用数值表示) 5分
10. 10. 对于非零实数a, b, 以下四个命题都成立: ①a + 1 a̸ = 0; ②(a + b)2 = a2 + 2ab + b2; ③若|a| = |b|, 则a = ±b; ④若a2 = ab, 则a = b. 那么, 对 于非零复数a, b, 仍然成立的命题的所有序号是 . 5分
11. 11. 如图, AB 是直线l 上的两点, 且AB = 2. 两个半径相等的动圆分别与l 相切于AB 点, C 是这两个圆的公共点, 则圆弧AC, CB 与线段AB 围成 图形面积S 的取值范围是 . A B l C 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知a, b ∈R, 且2 + ai, b + 3i (i 是虚数单位) 是一个实系数一元二次方 程的两个根, 那么a, b 的值分别是 ( ) 5分
   A. a = −3, b = 2 B. a = 3, b = −2 C. a = −3, b = −2 D. a = 3, b = 2
2. 2. 圆x2 + y2 −2x −1 = 0 关于直线2x −y + 3 = 0 对称的圆的方程是( ) 2 2 5分
   A. (x + 3)2 + (y −2)2 = 1 B. (x −3)2 + (y + 2)2 = 1 C. (x + 3)2 + (y −2)2 = 2 D. (x −3)2 + (y + 2)2 = 2
3. 3. 数列{an} 中, an =      1 n2 , 1 ⩽n ⩽1000, n2 n2 −2n, n ⩾1001, 则数列{an} 的极限值 ( ) 5分
   A. 等于0 B. 等于1 C. 等于0 或1 D. 不存在
4. 4. 设f(x) 是定义在正整数集上的函数, 且f(x) 满足: “当f(k) ⩾k2 成立时, 总可推出f(k + 1) ⩾(k + 1)2 成立”. 那么, 下列命题总成立的是 ( ) 5分
   A. 若f(1) < 1 成立, 则f(10) < 100 成立 B. 若f(2) < 4 成立, 则f(1) ⩾1 成立 C. 若f(3) ⩾9 成立, 则当k ⩾1 时, 均有f(k) ⩾k2 成立 D. 若f(4) ⩾25 成立, 则当k ⩾4 时, 均有f(k) ⩾k2 成立

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在正四棱锥P −ABCD 中, PA = 2, 直线PA 与平面ABCD 所成的角 为60◦, 求正四棱锥P −ABCD 的体积V . A B C D P
2. 2. 在△ABC 中, a, b, c 分别是三个内角A, B, C 的对边. 若a = 2, C = π 4 , cos B 2 = 2 √ 5 5 , 求△ABC 的面积S.
3. 3. 近年来, 太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳电池的年生产 量达到670 兆瓦, 年生产量的增长率为34 %. 以后四年中, 年生产量的增 长率逐年递增2 % (如, 2003 年的年生产量的增长率为36 %). (1) 求2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1 兆瓦); (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量, 2006 年的实际安装量为1420 兆瓦. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的 增长率保持在42 %, 到2010 年, 要使年安装量与年生产量基本持平(即年 安装量不少于年生产量的95 %), 这四年中太阳电池的年安装量的平均增 长率至少应达到多少(结果精确到0.1 %)? 407
4. 4. 已知函数f(x) = x2 + a x (x̸ = 0, 常数a ∈R). (1) 当a = 2 时, 解不等式f(x) −f(x −1) > 2x −1; (2) 讨论函数f(x) 的奇偶性, 并说明理由.
5. 5. 如果有穷数列a1, a2, a3, · · · , am (m 为正整数) 满足条件a1 = am, a2 = am−1, · · · , am = a1, 即ai = am−i+1 (i = 1, 2, · · · , m), 我们称其为 “对称数列”. 例如, 数列1, 2, 5, 2, 1 与数列8, 4, 2, 2, 4, 8 都是“对称数列”. (1) 设{bn} 是项数为7 的“对称数列”, 其中b1, b2, b3, b4 是等差数列, 且 b1 = 2, b4 = 11. 依次写出{bn} 的每一项; (2) 设{cn} 是49 项的“对称数列”, 其中c25, c26, · · · , c49 是首项为1, 公比 为2 的等比数列, 求{cn} 各项的和S; (3) 设{dn} 是100 项的“对称数列”, 其中d51, d52, · · · , d100 是首项为2, 公差为3 的等差数列. 求{dn} 前n 项的和Sn (n = 1, 2, · · · , 100).
6. 6. 我们把由半椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (x ⩾0) 与半椭圆y2 b2 + x2 c2 = 1 (x ⩽0) 合 成的曲线称作“果圆”, 其中a2 = b2 + c2, a > 0, b > c > 0. 如图, 设点F0, F1, F2 是相应椭圆的焦点, A1, A2 和B1, B2 分别是“果圆”与x, y 轴的交 点, M 是线段A1A2 的中点. (1) 若△F0F1F2 是边长为1 的等边三角形, 求该“果圆”的方程; (2) 设P 是“果圆”的半椭圆y2 b2 + x2 c2 = 1 (x ⩽0) 上任意一点. 求证: 当 |PM| 取得最小值时, P 在点B1, B2 或A1 处; (3) 若P 是“果圆”上任意一点, 求|PM| 取得最小值时点P 的横坐标. x y O A1 A2 F0 M B1 B2 F2 F1 • • • • 408

原卷配图（含真实几何/应用题图示）