2007年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年上海（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. 函数f(x) = lg(4 −x) x −3 的定义域是 . 5分
2. 2. 若直线l1: 2x + my + 1 = 0 与直线l2: y = 3x −1 平行, 则m = . 5分
3. 3. 函数f(x) = x x −1 的反函数f −1(x) = . 5分
4. 4. 方程9x −6 · 3x −7 = 0 的解是 . 5分
5. 5. 若x, y ∈R+, 且x + 4y = 1, 则x · y 的最大值是 . 5分
6. 6. 函数y = sin ( x + π 3 ) sin ( x + π 2 ) 的最小正周期T = . 5分
7. 7. 在五个数字1, 2, 3, 4, 5 中, 若随机取出三个数字, 则剩下两个数字都是奇 数的概率是 . (结果用数值表示) 5分
8. 8. 以双曲线x2 4 −y2 5 = 1 的中心为焦点, 且以该双曲线的左焦点为顶点的抛 物线方程是 . 5分
9. 9. 对于非零实数a, b, 以下四个命题都成立: ①a + 1 a̸ = 0; ②(a + b)2 = a2 + 2ab + b2; ③若|a| = |b|, 则a = ±b; ④若a2 = ab, 则a = b. 那么, 对 于非零复数a, b, 仍然成立的命题的所有序号是 . 5分
10. 10. 在平面上, 两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知α, β 是两 个相交平面, 空间两条直线l1, l2 在α 上的射影是直线s1, s2, l1, l2 在β 上的射影是直线t1, t2. 用s1 与s2, t1 与t2 的位置关系, 写出一个总能确 定l1 与l2 是异面直线的充分条件: . 5分
11. 11. 已知P 为圆x2 + (y −1)2 = 1 上任意一点(原点O 除外), 直线OP 的倾 斜角为θ 弧度, 记d = |OP|. 在右侧的坐标系中, 画出以(θ, d) 为坐标的 点的轨迹的大致图形为 θ O′ 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 d 1 2 3 −1 −2 −3 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知a, b ∈R, 且2 + ai, b + i (i 是虚数单位) 是实系数一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两个根, 那么p, q 的值分别是 ( ) 5分
   A. p = −4, q = 5 B. p = −4, q = 3 C. p = 4, q = 5 D. p = 4, q = 3
2. 2. 设a, b 是非零实数, 若a < b, 则下列不等式成立的是 ( ) (C) 1 ab2 < 1 a2b b 5分
   A. a2 < b2 B. ab2 < a2b D. b A. < a
3. 3. 直角坐标系xOy 中, #»i , #»j 分别是与x, y 轴正方向同向的单位向量. 在直 角三角形ABC 中, 若# » AB = 2#»i + #»j , # » AC = 3#»i + k#»j , 则k 的可能值个 数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 4. 设f(x) 是定义在正整数集上的函数, 且f(x) 满足: “当f(k) ⩾k2 成立时, 总可推出f(k + 1) ⩾(k + 1)2 成立”. 那么, 下列命题总成立的是 ( ) 5分
   A. 若f(3) ⩾9 成立, 则当k ⩾1 时, 均有f(k) ⩾k2 成立 B. 若f(5) ⩾25 成立, 则当k ⩽5 时, 均有f(k) ⩾k2 成立 C. 若f(7) < 49 成立, 则当k ⩾8 时, 均有f(k) < k2 成立 D. 若f(4) = 25 成立, 则当k ⩾4 时, 均有f(k) ⩾k2 成立

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在体积为1 的直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠ACB = 90◦, AC = BC = 1, 求直线A1B 与平面BB1C1C 所成角. (结果用反三角函数值表 示) A B C A1 B1 C1
2. 2. 在△ABC 中, a, b, c 分别是三个内角A, B, C 的对边. 若a = 2, C = π 4 , cos B 2 = 2 √ 5 5 , 求△ABC 的面积S.
3. 3. 近年来, 太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳电池的年生产 量达到670 兆瓦, 年生产量的增长率为34 %. 以后四年中, 年生产量的增 长率逐年递增2 % (如, 2003 年的年生产量的增长率为36 %). (1) 求2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1 兆瓦); (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量, 2006 年的实际安装量为1420 兆瓦. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的 增长率保持在42 %, 到2010 年, 要使年安装量与年生产量基本持平(即年 安装量不少于年生产量的95 %), 这四年中太阳电池的年安装量的平均增 长率至少应达到多少(结果精确到0.1 %)? 405
4. 4. 已知函数f(x) = x2 + a x (x̸ = 0, 常数a ∈R). (1) 讨论函数f(x) 的奇偶性, 并说明理由; (2) 若函数f(x) 在x ∈[2, +∞) 上为增函数, 求a 的取值范围.
5. 5. 如果有穷数列a1, a2, a3, · · · , an (n 为正整数) 满足条件a1 = an, a2 = an−1, · · · , an = a1, 即ai = an−i+1 (i = 1, 2, · · · , n), 我们称其为“对 称数列”. 例如, 由组合数组成的数列C0 m, C1 m, · · · , Cm m 就是“对称数列”. (1) 设{bn} 是项数为7 的“对称数列”, 其中b1, b2, b3, b4 是等差数列, 且 b1 = 2, b4 = 11. 依次写出{bn} 的每一项; (2) 设{cn} 是项数为2k −1 (正整数k > 1) 的“对称数列”, 其中ck, ck+1, · · · , c2k−1 是首项为50, 公差为−4 的等差数列. 记{cn} 各项的和为 S2k−1. 当k 为何值时, S2k−1 取得最大值? 并求出S2k−1 的最大值; (3) 对于确定的正整数m > 1, 写出所有项数不超过2m 的“对称数列”, 使 得1, 2, 22, · · · , 2m−1 依次是该数列中连续的项; 当m > 1500 时, 求其中 一个“对称数列”前2008 项的和S2008.
6. 6. 我们把由半椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (x ⩾0) 与半椭圆y2 b2 + x2 c2 = 1 (x ⩽0) 合成 的曲线称作“果圆”, 其中a2 = b2 + c2, a > 0, b > c > 0. 如图, 设点F0, F1, F2 是相应椭圆的焦点, A1, A2 和B1, B2 分别是“果圆”与x, y 轴的交点. (1) 若△F0F1F2 是边长为1 的等边三角形, 求“果圆”的方程; (2) 当时|A1A2| > |B1B2| 时, 求b (3) 连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦. 试研究: 是否存在实数 k, 使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上? 若存在, 求出所有可能的k 值; 若不存在, 说明理由. x y O A1 A2 F0 B1 B2 F2 F1 • • • 406

原卷配图（含真实几何/应用题图示）