2007年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知cos θ · tan θ < 0, 那么角θ 是 ( ) 5分
   A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
2. 2. 函数f(x) = 3x (0 < x ⩽2) 的反函数的定义域为 ( ) 5分
   A. (0, +∞) B. (1, 9] C. (0, 1) D. [9, +∞)
3. 3. 函数f(x) = sin 2x −cos 2x 的最小正周期是 ( ) 2 5分
   A. π B. π C. 2π D. 4π
4. 4. 椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的焦点为F1, F2, 两条准线与x 轴的交点分 别为M, N. 若|MN| ⩽2 |F1F2|, 则该椭圆离心率的取值范围是 ( ) (A) ( 0, 1 2 ] (B) ( 0, √ 2 2 ] (C) [1 2, 1 ) (D) [√ 2 2 , 1 ) 5分
5. 5. 某城市的汽车牌照号码由2 个英文字母后接4 个数字组成, 其中4 个数字 互不相同的牌照号码共有 ( ) 26) 2A4 10 个(B) A2 26A4 10 个 26) 2104 个(D) A2 26104 个 5分
   A. (C1 C. (C1
6. 6. 若不等式组        x −y + 5 ⩾0, y ⩾a, 0 ⩽x ⩽2 表示的平面区域是一个三角形, 则a 的取值 范围是 ( ) 5分
   A. a < 5 B. a ⩾7 C. 5 ⩽a < 7 D. a < 5 或a ⩾7
7. 7. 平面α 平面β 的一个充分条件是 ( ) α, a β β β, b α β, b α 5分
   A. 存在一条直线a, a B. 存在一条直线a, a ⊂α, a C. 存在两条平行直线a, b, a ⊂α, b ⊂β, a D. 存在两条异面直线a, b, a ⊂α, b ⊂β, a
8. 8. 对于函数①f(x) = |x + 2|, ②f(x) = (x −2)2, ③f(x) = cos(x −2), 判断 如下两个命题的真假: 命题甲: f(x + 2) 是偶函数; 命题乙: f(x) 在(−∞, 2) 上是减函数, 在(2, +∞) 上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 ( ) 5分
   A. ①② B. ①③ C. ② D. ③

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 3x3 + 2x + 1 的导函数, 则f ′ (−1) 的值是 . 5分
   F. ′(x) 是f(x) = 1
2. 2. 若数列{an} 的前n 项和Sn = n2 −10n (n = 1, 2, 3, · · · ), 则此数列的通 项公式为 . 5分
3. 3. 已知向量a = (2, 4), b = (1, 1). 若向量b ⊥(a + λb), 则实数λ 的值 是 . 5分
4. 4. 在△ABC 中, 若tan A = 1 3, C = 150◦, BC = 1, 则AB = . 5分
5. 5. 2002 年在北京召开的国际数学家大会, 会标是以我国古代数学家赵爽的弦 图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一 个大正方形(如图). 如果小正方形的面积为1, 大正方形的面积为25, 直角 三角形中较小的锐角为θ, 那么cos 2θ 的值等于 . 5分
6. 6. 已知函数f(x), g(x) 分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f[g(1)] 的值为 ; 当g[f(x)] = 2 时, x = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 记关于x 的不等式x −a x + 1 < 0 的解集为P, 不等式|x −1| ⩽1 的解集为 Q. (1) 若a = 3, 求P; (2) 若Q ⊆P, 求正数a 的取值范围.
2. 2. 数列{an} 中, a1 = 2, an+1 = an + cn (c 是常数, n = 1, 2, 3, · · · ), 且a1, a2, a3 成公比不为1 的等比数列. (1) 求c 的值; (2) 求{an} 的通项公式.
3. 3. 如图, 在Rt△AOB 中, ∠OAB = π 6 , 斜边AB = 4. Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线AO 为轴旋转得到, 且二面角B −AO −C 是直二面角. (1) 求证: 平面COD ⊥平面AOB; (2) 求异面直线AO 与CD 所成角的大小. C B O A D 353
4. 4. 某条公共汽车线路沿线共有11 个车站(包括起点站和终点站). 在起点站 开出的一辆公共汽车上有6 位乘客, 假设每位乘客在起点站之外的各个车 站下车是等可能的. 求: (1) 这6 位乘客在互不相同的车站下车的概率; (2) 这6 位乘客中恰有3 人在终点站下车的概率;
5. 5. 如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2, 0), AB 边所在直线的方 程为x −3y −6 = 0, 点T(−1, 1) 在AD 边所在直线上. (1) 求AD 边所在直线的方程; (2) 求矩形ABCD 外接圆的方程; (3) 若动圆P 过点N(−2, 0), 且与矩形ABCD 的外接圆外切, 求动圆P 的圆心的轨迹方程. x y O C N M T A D B • • •
6. 6. 已知函数y = kx 与y = x2 + 2 (x ⩾0) 的图象相交于A(x1, y1), B(x2, y2). l1, l2 分别是y = x2 + 2 (x ⩾0) 的图象在A, B 两点的切线, M, N 分别 是l1, l2 与x 轴的交点. (1) 求k 的取值范围; (2) 设t 为点M 的横坐标, 当x1 < x2 时, 写出t 以x1 为自变量的函数 式, 并求其定义域和值域; (3) 试比较|OM| 与|ON| 的大小, 并说明理由(O 是坐标原点). 354

原卷配图（含真实几何/应用题图示）