2007年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知cos θ · tan θ < 0, 那么角θ 是 ( ) 5分
   A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
2. 2. 函数f(x) = 3x (0 < x ⩽2) 的反函数的定义域为 ( ) 5分
   A. (0, +∞) B. (1, 9] C. (0, 1) D. [9, +∞)
3. 3. 平面α 平面β 的一个充分条件是 ( ) α, a β β β, b α β, b α 5分
   A. 存在一条直线a, a B. 存在一条直线a, a ⊂α, a C. 存在两条平行直线a, b, a ⊂α, b ⊂β, a D. 存在两条异面直线a, b, a ⊂α, b ⊂β, a
4. 4. 已知O 是△ABC 所在平面内一点, D 为BC 边中点, 且2# » OA + # » OB + # » OC = 0, 那么 ( ) AO = # » OD AO = 2# » OD AO = 3# » OD AO = # » OD 5分
   A. # » B. # » C. # » D. 2# »
5. 5. 记者要为5 名志愿者和他们帮助的2 位老人拍照, 要求排成一排, 2 位老 人相邻但不排在两端, 不同的排法共有 ( ) 5分
   A. 1440 种 B. 960 种 C. 720 种 D. 480 种
6. 6. 若不等式组              x −y ⩾0, 2x + y ⩽2, y ⩾0, x + y ⩽a, 表示的平面区域是一个三角形, 则a 的取值范 围是 ( ) 3 3 3 5分
   A. a ⩾4 B. 0 < a ⩽1 C. 1 ⩽a ⩽4 D. 0 < a ⩽1 或a ⩾4
7. 7. 如果正数a, b, c, d 满足a + b = cd = 4, 那么 ( ) 5分
   A. ab ⩽c + d, 且等号成立时a, b, c, d 的取值唯一 B. ab ⩾c + d, 且等号成立时a, b, c, d 的取值唯一 C. ab ⩽c + d, 且等号成立时a, b, c, d 的取值不唯一 D. ab ⩾c + d, 且等号成立时a, b, c, d 的取值不唯一
8. 8. 对于函数①f(x) = lg(|x −2|+1), ②f(x) = (x −2)2, ③f(x) = cos(x+2), 判断如下三个命题的真假: 命题甲: f(x + 2) 是偶函数; 命题乙: f(x) 在(−∞, 2) 上是减函数, 在(2, +∞) 上是增函数; 命题丙: f(x + 2) −f(x) 在(−∞, +∞) 上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ( ) 5分
   A. ①③ B. ①② C. ③ D. ②

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 2 (1 + i)2 = . 5分
2. 2. 若数列{an} 的前n 项和Sn = n2 −10n (n = 1, 2, 3, · · · ), 则此数列的通 项公式为 ; 数列{nan} 中数值最小的项是第 项. 5分
3. 3. 在△ABC 中, 若tan A = 1 3, C = 150◦, BC = 1, 则AB = . 5分
4. 4. 已知集合A = {x | |x −a| ⩽1}, B = {x | x2 −5x + 4 ⩾0}. 若A∩B = ∅, 则实数a 的取值范围是 . 5分
5. 5. 2002 年在北京召开的国际数学家大会, 会标是以我国古代数学家赵爽的弦 图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一 个大正方形(如图). 如果小正方形的面积为1, 大正方形的面积为25, 直角 三角形中较小的锐角为θ, 那么cos 2θ 的值等于 . 5分
6. 6. 已知函数f(x), g(x) 分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f[g(1)] 的值为 ; 满足f[g(x)] > g[f(x)] 的x 的值是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 数列{an} 中, a1 = 2, an+1 = an + cn (c 是常数, n = 1, 2, 3, · · · ), 且a1, a2, a3 成公比不为1 的等比数列. (1) 求c 的值; (2) 求{an} 的通项公式.
2. 2. 如图, 在Rt△AOB 中, ∠OAB = π 6 , 斜边AB = 4. Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线AO 为轴旋转得到, 且二面角B −AO −C 是直二面角. 动点D 的斜边AB 上. (1) 求证: 平面COD ⊥平面AOB; (2) 当D 为AB 的中点时, 求异面直线AO 与CD 所成角的大小; (3) 求CD 与平面AOB 所成角的最大值. C B O A D
3. 3. 矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2, 0), AB 边所在直线的方程为 x −3y −6 = 0, 点T(−1, 1) 在AD 边所在直线上. (1) 求AD 边所在直线的方程; (2) 求矩形ABCD 外接圆的方程; (3) 若动圆P 过点N(−2, 0), 且与矩形ABCD 的外接圆外切, 求动圆P 的圆心的轨迹方程. 351
4. 4. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活 动). 该校合唱团共有100 名学生, 他们参加活动的次数统计如图所示. 参加人数 10 20 30 40 50 活动次数 1 2 3 (1) 求合唱团学生参加活动的人均次数; (2) 从合唱团中任意选两名学生, 求他们参加活动次数恰好相等的概率; (3) 从合唱团中任选两名学生, 用ξ 表示这两人参加活动次数之差的绝对 值, 求随机变量ξ 的分布列及数学期望Eξ.
5. 5. 如图, 有一块半椭圆形钢板, 其半轴长为2r, 短半轴长为r, 计划将此钢板 切割成等腰梯形的形状, 下底AB 是半椭圆的短轴, 上底CD 的端点在椭 圆上, 记CD = 2x, 梯形面积为S. (1) 求面积S 以x 为自变量的函数式, 并写出其定义域; (2) 求面积S 的最大值. A B C D 2r 2r
6. 6. 已知集合A = {a1, a2, · · · , ak} (k ⩾2), 其中ai ∈Z (i = 1, 2, · · · , k). 由 T = {(a, b) | a ∈A, b ∈A, a −b ∈A}, 其中(a, b) 是有序数对, 集合S 和 T 中的元素个数分别为m 和n. 若对于任意的a ∈A, 总有−a /∈A, 则称 集合A 具有性质P. (1) 检验集合{0, 1, 2, 3} 与{−1, 2, 3} 是否具有性质P, 并对其中具有 性质P 的集合, 写出相应的集合S 和T; (2) 对任何具有性质P 的集合A, 证明: n ⩽k(k −1) 2 ; (3) 判断m 和n 的大小关系, 并证明你的结论. 352

原卷配图（含真实几何/应用题图示）