2007年四川（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年四川（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数1 + i 1 −i + i3 的值是 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. −1 D. 1
2. 2. 函数f(x) = 1 + log2 x 与g(x) = 2−x+1 在同一直角坐标系下的图象大致 是 ( ) (A) x 1 2 1 2 y O (B) x 1 2 1 2 y O (C) x 1 2 1 2 y O (D) x 1 2 1 2 y O 5分
3. 3. lim x→1 x2 −1 2x2 −x −1 = ( ) 2 3 5分
   A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
4. 4. 如图, ABCD −A1B1C1D1 为正方体, 下面结论错误的是 ( ) A B C D A1 B1 C1 D1 平面CB1D1 5分
   A. BD B. AC1 ⊥BD C. AC1 ⊥平面CB1D1 D. 异面直线AD 与CB1 角为60◦
5. 5. 如果双曲线x2 4 −y2 2 = 1 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2, 那么点P 到y 轴的距离是 ( ) √ 6 3 √ 6 3 √ 6 √ 3 5分
   A. 4 B. 2 C. 2 D. 2
6. 6. 设球O 的半径是1, A、B、C 是球面上三点, 已知A 到B、C 两点的球面 距离都是π 2 , 且二面角B −OA −C 的大小为π 3 , 则从A 点沿球面经B、 ( ) O A B C 6 4 3 2 5分
   C. 两点再回到A 点的最短距离是 A. 7π B. 5π C. 4π D. 3π
7. 7. 设A(a, 1), B(2, b), C(4, 5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点, 若# » OA 与 # » OB 在# » OC 上的投影相同, 则a 与b 满足的关系式为 ( ) 5分
   A. 4a −5b = 3 B. 5a −4b = 3 C. 4a + 5b = 14 (D) 5a + 4b = 14
8. 8. 已知抛物线y = −x2 + 3 上存在关于直线x + y = 0 对称的相异两点A、 B, 则|AB| 等于 ( ) √ 2 √ 2 5分
   A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
9. 9. 某公司有60 万元资金, 计划投资甲、乙两个项目, 按要求对项目甲的投资 不小于对项目乙投资的2 3 倍, 且对每个项目的投资不能低于5 万元, 对项 目甲每投资1 万元可获得0.4 万元的利润, 对项目乙每投资1 万元可获得 0.6 万元的利润, 该公司正确规划投资后, 在这两个项目上共可获得的最大 利润为 ( ) 5分
   A. 36 万元 B. 31.2 万元 C. 30.4 万元 D. 24 万元
10. 10. 用数字0, 1, 2, 3, 4, 5 可以组成没有重复数字, 并且比20000 大的五位偶 数共有 ( ) 5分
    A. 288 个 B. 240 个 C. 144 个 D. 126 个
11. 11. 如图, l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与l2 间的距离是1, l2 与 l3 间的距离是2, 正三角形ABC 的三顶点分别在l1、l2、l3 上, 则△ABC 的边长是 ( ) A B C l2 l3 l1 √ 3 √ 6 3 √ 7 4 √ 21 3 5分
    A. 2 B. 4 C. 3 − D. 2 −
12. 12. 已知一组抛物线y = 1 2ax2 + bx + 1, 其中a 为2, 4, 6, 8 中任取的一个数, 直线x = 1 交点处的切线相互平行的概率是 ( ) 12 60 25 25 5分
    B. 为1, 3, 5, 7 中任取的一个数, 从这些抛物线中任意抽取两条, 它们在与 A. 1 B. 7 C. 6 D. 5

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若函数f(x) = e−(x−u)2 (e 是自然对数的底数) 的最大值是m, 且f(x) 是 偶函数, 则m + u = . 5分
2. 2. 如图, 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧棱长为 √ 2, 底面三角形的边长为 1, 则BC1 与侧面ACC1A1 所成的角是 . A C B A1 C1 B1 5分
3. 3. 已知⊙O 的方程是x2 +y2 −2 = 0, ⊙O′ 的方程是x2 +y2 −8x+10 = 0, 由 动点P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等, 则动点P 的轨迹方程是 . 5分
4. 4. 下面有五个命题: ①函数y = sin4 x −cos4 x 的最小正周期是π; ②终边在y 轴上的角的集合是 { α  α = kπ 2 , k ∈Z } ; ③在同一坐标系中, 函数y = sin x 的图象和函数y = x 的图象有三个公 共点; ④把函数y = 3 sin ( 2x + π 3 ) 的图象向右平移π 6 得到y = 3 sin 2x 的图 象; ⑤函数y = sin ( x −π 2 ) 在[0, π] 上是减函数. 其中真命题的序号是 . (写出所有) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知cos α = 1 7, cos(α −β) = 13 14, 且0 < β < α < π 2 . (1) 求tan 2α 的值; (2) 求β. 409
2. 2. 厂家在产品出厂前, 需对产品做检验, 厂家将一批产品发给商家时, 商家按 合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验, 以决定是否接收这批产品. (1) 若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8, 从中任意取出4 件进行检 验. 求至少有1 件是合格品的概率; (2) 若厂家发给商家20 件产品, 其中有3 件不合格, 按合同规定该商家从 中任取2 件, 都进行检验, 只有2 件都合格时才接收这批产品, 否则拒收. 求该商家可能检验出不合格产品数ξ 的分布列及期望Eξ, 并求该商家拒 收这批产品的概率.
3. 3. 如图, PCBM 是直角梯形, ∠PCB = 90◦, PM BC, PM = 1, BC = 2, 又AC = 1, ∠ACB = 120◦, AB ⊥PC, 直线AM 与直线PC 所成的角为 60◦. (1) 求证: 平面PAC ⊥平面ABC; (2) 求二面角M −AC −B 的大小; (3) 求三棱锥P −MAC 的体积. A B C P M
4. 4. 设F1、F2 分别是椭圆x2 4 + y2 = 1 的左、右焦点. (1) 若P 是该椭圆上的一个动点, 求# » PF1 · # » PF2 的最大值和最小值; (2) 设过定点M(0, 2) 的直线l 与椭圆交于不同的两点A、B, 且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点), 求直线l 的斜率k 的取值范围.
5. 5. 已知函数f (x) = x2 −4, 设曲线y = f (x) 在点(xn, f (xn)) 处的切线与x 轴的交点为(xn+1, 0) (n ∈N∗), 其中x1 为正实数. (1) 用xn 表示xn+1; (2) 求证: 对一切正整数n, xn+1 ⩽xn 的充要条件是x1 ⩾2; (3) 若x1 = 4, 记an = lg xn + 2 xn −2, 证明数列{an} 成等比数列, 并求数列 {xn} 的通项公式.
6. 6. 设函数f(x) = ( 1 + 1 n )x (n ∈N, 且n > 1, x ∈R). (1) 当x = 6 时, 求 ( 1 + 1 n )x 的展开式中二项式系数最大的项; (2) 对任意的实数x, 证明f(2x) + f(2) 2 > f ′(x) (f ′(x) 是f(x) 的导函数); (3) 是否存在a ∈N, 使得an < n∑ k=1 ( 1 + 1 k )k < (a + 1)n 恒成立? 若存 在, 试证明你的结论并求出a 的值; 若不存在, 请说明理由. 410

原卷配图（含真实几何/应用题图示）