2007年大纲1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年大纲1（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设S = {x | 2x + 1 > 0}, T = {x | 3x −5 < 0}, 则S ∩T = ( ) (B) { x  x < −1 2 } (C) { x  x > 5 3 } (D) { x  −1 2 < x < 5 3 } 5分
   A. ∅
2. 2. α 是第四象限角, cos α = 12 13, 则sin α = ( ) 13 13 12 12 5分
   A. 5 B. −5 C. 5 D. −5
3. 3. 已知向量a = (−5, 6), b = (6, 5), 则a 与b ( ) 5分
   A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向
4. 4. 已知双曲线的离心率为2, 焦点是(−4, 0), (4, 0), 则双曲线方程为 ( ) 4 −y2 12 = 1 (B) x2 12 −y2 4 = 1 10 −y2 6 = 1 6 −y2 10 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
5. 5. 甲、乙、丙3 位同学选修课程, 从4 门课程中, 甲选修2 门, 乙、丙各选修 3 门, 则不同的选修方案共有 ( ) 5分
   A. 36 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 192 种
6. 6. 下面给出的四个点中, 位于 { x + y −1 < 0, x −y + 1 > 0 表示的平面区域内的点是( ) 5分
   A. (0, 2) B. (−2, 0) C. (0, −2) D. (2, 0)
7. 7. 如图, 正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB, 则异面直线A1B 与AD1 所成角的余弦值为 ( ) A B C D A1 B1 C1 D1 5 5 5 5 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 8. 设a > 1, 函数f(x) = loga x 在区间[a, 2a] 上的最大值与最小值之差为1 2, 则a = ( ) (A) √ 2 √ 2 5分
   B. 2 C. 2 D. 4
9. 9. f(x), g(x) 是定义在R 上的函数, h(x) = f(x) + g(x), 则“f(x), g(x) 均为 偶函数”是“h(x) 为偶函数”的 ( ) 5分
   A. 充要条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件
10. 10. 函数y = 2 cos2 x 的一个单调增区间是 ( ) (A) ( −π 4 , π 4 ) (B) ( 0, π 2 ) (C) (π 4 , 3π 4 ) (D) (π 2 , π ) 5分
11. 11. 曲线y = 1 3x3+x 在点 ( 1, 4 3 ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) 9 9 3 3 5分
    A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
12. 12. 抛物线y2 = 4x 的焦点为F, 准线为l, 经过F 且斜率为 √ 3 的直线与抛 物线在x 轴上方的部分相交于点A, AK ⊥l, 垂足为K, 且△AKF 的面 积是 ( ) √ 3 √ 3 5分
    A. 4 B. 3 C. 4 D. 8

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 从某自动包装机包装的食盐中, 随机抽取20 袋, 测得各袋的质量分别为 (单位: g): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理, 该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5 g ∼501.5 g 之间的概率约为 . 5分
2. 2. 函数y = f(x) 的图象与函数y = log3 x (x > 0) 的图象关于直线y = x 对 称, 则f(x) = . 5分
3. 3. 正四棱锥S −ABCD 的底面边长和各测棱长都为 √ 2, 点S、A、B、C、 . 5分
   D. 都在同一个球面上, 则该球的体积为
4. 4. 等比数列{an} 的前n 项和Sn, 已知S1, 2S2, 3S3 成等差数列, 则{an} 的 公比为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设锐角三角形ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, a = 2b sin A. (1) 求B 的大小; (2) 若a = 3 √ 3, c = 5, 求b.
2. 2. 某商场经销某商品, 顾客可采用一次性付款或分期付款购买. 根据以往资 料统计, 顾客采用一次性付款的概率是0.6. 经销一件该商品, 若顾客采用 一次性付款, 商场获得利润200 元; 若顾客采用分期付款, 商场获得利润 250 元. (1) 求3 位购买该商品的顾客中至少有1 位采用一次性付款的概率; (2) 求3 位顾客每人购买1 件该商品, 商场获得利润不超过650 元的概率.
3. 3. 四棱锥S −ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形, 侧面SBC ⊥底面 ABCD. 已知∠ABC = 45◦, AB = 2, BC = 2 √ 2, SA = SB = √ 3. (1) 证明: SA ⊥BC; (2) 求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. S D A C B 361
4. 4. 设函数f(x) = 2x3 + 3ax2 + 3bx + 8c 在x = 1 及x = 2 时取得极值. (1) 求a、b 的值; (2) 若对于任意的x ∈[0, 3], 都有f(x) < c2 成立, 求c 的取值范围.
5. 5. 设{an} 是等差数列, {bn} 是各项都为正数的等比数列, 且a1 = b1 = 1, a3 + b5 = 21, a5 + b3 = 13. (1) 求{an}, {bn} 的通项公式; (2) 求数列 {an bn } 的前n 项和Sn.
6. 6. 已知椭圆x2 3 + y2 2 = 1 的左、右焦点分别为F1、F2, 过F1 的直线交椭圆 于B、D 两点, 过F2 的直线交椭圆于A、C 两点, 且AC ⊥BD, 垂足为 P. (1) 设P 点的坐标为(x0, y0), 证明: x2 0 3 + y2 0 2 < 1; (2) 求四过形ABCD 的面积的最小值. 362

原卷配图（含真实几何/应用题图示）