2007年大纲1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年大纲1（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. α 是第四象限角, tan α = −5 12, 则sin α = ( ) 5 5 13 13 5分
   A. 1 B. −1 C. 5 D. −5
2. 2. 设a 是实数, 且 a 1 + i + 1 + i 2 是实数, 则a = ( ) 2 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
3. 3. 已知向量a = (−5, 6), b = (6, 5), 则a 与b ( ) 5分
   A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向
4. 4. 已知双曲线的离心率为2, 焦点是(−4, 0), (4, 0), 则双曲线方程为 ( ) 4 −y2 12 = 1 (B) x2 12 −y2 4 = 1 10 −y2 6 = 1 6 −y2 10 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
5. 5. 设a, b ∈R, 集合{1, a + b, a} = { 0, b a, b } , 则b −a = ( ) 5分
   A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
6. 6. 下面给出的四个点中, 到直线x −y + 1 = 0 的距离为 √ 2 2 , 且位于 { x + y −1 < 0, x −y + 1 > 0 表示的平面区域内的点是 ( ) 5分
   A. (1, 1) B. (−1, 1) C. (−1, −1) D. (1, −1)
7. 7. 如图, 正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB, 则异面直线A1B 与AD1 所成角的余弦值为 ( ) A B C D A1 B1 C1 D1 5 5 5 5 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 8. 设a > 1, 函数f(x) = loga x 在区间[a, 2a] 上的最大值与最小值之差为1 2, 则a = ( ) (A) √ 2 √ 2 5分
   B. 2 C. 2 D. 4
9. 9. f(x), g(x) 是定义在R 上的函数, h(x) = f(x) + g(x), 则“f(x), g(x) 均为 偶函数”是“h(x) 为偶函数”的 ( ) 5分
   A. 充要条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件
10. 10. ( x2 −1 x )n 的展开式中, 常数项为15, 则n = ( ) 5分
    A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11. 11. 抛物线y2 = 4x 的焦点为F, 准线为l, 经过F 且斜率为 √ 3 的直线与抛 物线在x 轴上方的部分相交于点A, AK ⊥l, 垂足为K, 且△AKF 的面 积是 ( ) √ 3 √ 3 5分
    A. 4 B. 3 C. 4 D. 8
12. 12. 函数f(x) = cos2x −2cos2 x 2 的一个单调增区间是 ( ) (A) (π 3 , 2π 3 ) (B) (π 6 , π 2 ) (C) ( 0, π 3 ) (D) ( −π 6 , π 6 ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 从班委会5 名成员中选出3 名, 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育 委员, 其中甲、乙二人不能担任文娱委员, 则不同的选法共有 种. (用 数字作答) 5分
2. 2. 函数y = f(x) 的图象与函数y = log3 x (x > 0) 的图象关于直线y = x 对 称, 则f(x) = . 5分
3. 3. 等比数列{an} 的前n 项和Sn, 已知S1, 2S2, 3S3 成等差数列, 则{an} 的 公比为 . 5分
4. 4. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上. 已知正三 棱柱的底面边长为2, 则该三角形的斜边长为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设锐角三角形ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, a = 2b sin A. (1) 求B 的大小; (2) 求cos A + sin C 的取值范围.
2. 2. 某商场经销某商品, 根据以往资料统计, 顾客采用的付款期为ξ 的分布列 为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品, 采用1 期付款, 基利润为200 元; 分2 期或3 期付 款, 基利润为250 元; 分4 期或5 期付款, 其利润为300 元. η 表示经销一 件该商品的利润. (1) 求事件A: “购买该商品的3 位顾客中, 至少有1 件位采用1 期付款的 概率P(A); (2) 求η 的分布列及期望Eη.
3. 3. 四棱锥S −ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形, 侧面SBC ⊥底面 ABCD. 已知∠ABC = 45◦, AB = 2, BC = 2 √ 2, SA = SB = √ 3. (1) 证明: SA ⊥BC; (2) 求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. S D A C B 359
4. 4. 设函数f(x) = ex −e−x. (1) 证明: f(x) 的导数f ′(x) ⩾2; (2) 若对所有x ⩾0 都有f(x) ⩾ax, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知椭圆x2 3 + y2 2 = 1 的左、右焦点分别为F1、F2, 过F1 的直线交椭圆 于B、D 两点, 过F2 的直线交椭圆于A、C 两点, 且AC ⊥BD, 垂足为 P. (1) 设P 点的坐标为(x0, y0), 证明: x2 0 3 + y2 0 2 < 1; (2) 求四过形ABCD 的面积的最小值.
6. 6. 已知数列{an} 中a1 = 2, an+1 = ( √ 2 −1)(an + 2), n = 1, 2, 3, · · · . (1) 求{an} 的通项公式; (2) 若数列{bn} 中b1 = 2, bn+1 = 3bn + 4 2bn + 3, n = 1, 2, 3, · · · , 证明: √ 2 < bn ⩽a4n−3, n = 1, 2, 3, · · · . 360

原卷配图（含真实几何/应用题图示）