2007年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年天津（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合S = {x ∈R | x + 1 ⩾2}, T = {−2, −1, 0, 1, 2}, 则S ∩ T = ( ) 5分
   A. {2} B. {1, 2} C. {0, 1, 2} D. {−1, 0, 1, 2}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x −y ⩾−1, x + y ⩽4, y ⩾2, 则目标函数z = 2x + 4y 的最大 值为 ( ) 5分
   A. 10 B. 12 C. 13 D. 14
3. 3. “a = 2”是“直线ax + 2y = 0 平行于直线x + y = 1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 设a = log 1 2 3, b = (1 3 )0.2 , c = 2 1 3 , 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c
5. 5. 函数y = log2(x + 4) (x > 0) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = 2x + 4 (x > 2) B. y = 2x + 4 (x > 0) C. y = 2x −4 (x > 2) D. y = 2x −4 (x > 0)
6. 6. 设a, b 为两条直线, α, β 为两个平面. 下列四个命题中, 正确的命题是( ) b α, b β, α β, 则a b b, 则α β 5分
   A. 若a, b 与α 所成的角相等, 则a B. 若a C. 若a ⊂α, b ⊂β, a D. 若a ⊥α, b ⊥β, α ⊥β, 则a ⊥b
7. 7. 设双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √ 3, 且它的一条准线与 抛物线y2 = 4x 的准线重合, 则此双曲线的方程为 ( ) 12 −y2 24 = 1 (B) x2 48 −y2 96 = 1 (C) x2 3 −2y2 3 = 1 (D) x2 3 −y2 6 = 1 5分
   A. x2
8. 8. 设等差数列{an} 的公差d 不为0, a1 = 9d. 若ak 是a1 与a2k 的等比中 项, 则k = ( ) 5分
   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 9. 设函数f(x) = sin ( x + π 3 ) (x ∈R), 则f(x) ( ) [2π 3 , 7π 6 ] 上是增函数 [ −π, −π 2 ] 上是减函数 [π 8 , π 4 ] 上是增函数 [π 3 , 5π 6 ] 上是减函数 5分
   A. 在区间 B. 在区间 C. 在区间 D. 在区间
10. 10. 设f(x) 是定义在R 上的奇函数, 且当x ⩾0 时, f(x) = x2. 若对任意的 x ∈[t, t + 2], 不等式f(x + t) ⩾2f(x) 恒成立, 则实数t 的取值范围是( ) (A) [√ 2, +∞ ) (D) [ − √ 2, −1 ] ∪ [√ 2, √ 3 ] 5分
    B. [2, +∞) C. (0, 2]

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 从一堆苹果中任取了20 只, 并得到它们的质量(单位: 克) 数据分布表如 下: 分组 [90, 100) [100, 110) [110, 120) [120, 130) [130140) [140, 150) 频数 1 2 3 10 3 1 则这堆苹果中, 质量不小于120 克的苹果数约占苹果总数的 %. 5分
2. 2. ( x + 1 x2 )9 的二项展开式中常数项是 . (用数字作答) 5分
3. 3. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的长分 别为1, 2, 3, 则此球的表面积为 . 5分
4. 4. 已知两圆x2 + y2 = 10 和(x −1)2 + (y −3)2 = 20 相交于A, B 两点, 则 直线AB 的方程是 . 5分
5. 5. 在△ABC 中, AB = 2, AC = 3, D 是边BC 的中点, 则# » AD· # » BC = . 5分
6. 6. 如图, 用6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色, 每个格子涂一种颜色. 要 求相邻的两个格子颜色不同, 且两端的格子的颜色也不同, 则不同的涂色 方法共有 种. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 已知AC = 2, BC = 3, cos A = −4 5. (1) 求sin B 的值; (2) 求sin ( 2B + π 6 ) 的值.
2. 2. 已知甲盒内有大小相同的3 个红球和4 个黑球, 乙盒内有大小相同的5 个 红球和4 个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2 个球. (1) 求取出的4 个球均为红球的概率; (2) 求取出的4 个球中恰有1 个红球的概率;
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, AB ⊥AD, AC ⊥CD, ∠ABC = 60◦, PA = AB = BC, E 是PC 的中点. (1) 求PB 和平面PAD 所成的角的大小; (2) 证明AE ⊥平面PCD; (3) 求二面角A −PD −C 的大小. A D B C P E 415
4. 4. 在数列{an} 中, a1 = 2, an+1 = 4an −3n + 1, n ∈N∗. (1) 证明数列{an −n} 是等比数列; (2) 求数列{an} 的前n 项和Sn; (3) 证明不等式Sn+1 ⩽4Sn 对任意n ∈N∗皆成立.
5. 5. 设函数f(x) = −x(x −a)2 (x ∈R), 其中a ∈R. (1) 当a = 1 时, 求曲线y = f(x) 在点(2, f(2)) 处的切线方程; (2) 当a̸ = 0 时, 求函数f(x) 的极大值和极小值; (3) 当a > 3 时, 证明存在k ∈[−1, 0], 使得不等式f(k −cos x) ⩾ f(k2 −cos2x) 对任意的x ∈R 恒成立.
6. 6. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, A 是椭圆上 的一点, AF2 ⊥F1F2, 原点O 到直线AF1 的距离为1 3 |OF1|. (1) 证明a = √ 2b; (2) 求t ∈(0, b) 使得下述命题成立: 设圆x2 + y2 = t2 上任意点M(x0, y0) 处的切线交椭圆于Q1, Q2 两点, 则OQ1 ⊥OQ2. 416

原卷配图（含真实几何/应用题图示）