2007年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年天津（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, 2i3 1 −i = ( ) 5分
   A. 1 + i B. −1 + i C. 1 −i D. −1 −i
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x −y ⩾−1, x + y ⩾1, 3x −y ⩽3, 则目标函数z = 4x + y 的最大 值为 ( ) 5分
   A. 4 B. 11 C. 12 D. 14
3. 3. “θ = 2π 3 ”是“tan θ = 2 cos (π 2 + θ ) ”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 设双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √ 3, 且它的一条准线与 抛物线y2 = 4x 的准线重合, 则此双曲线的方程为 ( ) 12 −y2 24 = 1 (B) x2 48 −y2 96 = 1 (C) x2 3 −2y2 3 = 1 (D) x2 3 −y2 6 = 1 5分
   A. x2
5. 5. 函数y = log2(√x + 4 + 2) (x > 0) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = 4x −2x+1 (x > 2) B. y = 4x −2x+1 (x > 1) C. y = 4x −2x+2 (x > 2) D. y = 4x −2x+2 (x > 1)
6. 6. 设a, b 为两条直线, α, β 为两个平面. 下列四个命题中, 正确的命题是( ) b α, b β, α β, 则a b b, 则α β 5分
   A. 若a, b 与α 所成的角相等, 则a B. 若a C. 若a ⊂α, b ⊂β, a D. 若a ⊥α, b ⊥β, α ⊥β, 则a ⊥b
7. 7. 在R 上定义的函数f(x) 是偶函数, 且f(x) = f(2 −x). 若f(x) 在区间 [1, 2] 上是减函数, 则f(x) ( ) 5分
   A. 在区间[−2, −1] 上是增函数, 在区间[3, 4] 上是增函数 B. 在区间[−2, −1] 上是增函数, 在区间[3, 4] 上是减函数 C. 在区间[−2, −1] 上是减函数, 在区间[3, 4] 上是增函数 D. 在区间[−2, −1] 上是减函数, 在区间[3, 4] 上是减函数
8. 8. 设等差数列{an} 的公差d 不为0, a1 = 9d. 若ak 是a1 与a2k 的等比中 项, 则k = ( ) 5分
   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 9. 设a, b, c 均为正数, 且2a = log 1 2 a, (1 2 )b = log 1 2 b, (1 2 )c = log2c. 则( ) 5分
   A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c
10. 10. 设两个向量a = (λ + 2, λ2 −cos2α) 和b = ( m, m 2 + sin α ) , 其中λ, m, α 为实数. 若a = 2b, 则λ m 的取值范围是 ( ) 5分
    A. [−6, 1] B. [4, 8] C. (−∞, 1] D. [−1, 6]

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 若 ( x2 + 1 ax )6 的二项展开式中x3 的系数为5 2, 则a = . (用数字 作答) 5分
2. 2. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的长分 别为1, 2, 3, 则此球的表面积为 . 5分
3. 3. 设等差数列 {an} 的公差 d 是 2, 前 n 项的和为 Sn, 则 lim n→∞ a2 n −n2 Sn = . 5分
4. 4. 已知两圆x2 + y2 = 10 和(x −1)2 + (y −3)2 = 20 相交于A, B 两点, 则 直线AB 的方程是 . 5分
5. 5. 如图, 在△ABC 中, ∠BAC = 120◦, AB = 2AC = 1, D 是边BC 上一点, DC = 2BD, 则# » AD · # » BC = . B A D C 5分
6. 6. 如图, 用6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色, 每个格子涂一种颜色. 要求最多使用3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同, 则不同的涂色方法共 有 种. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 2 cos x(sin x −cos x) + 1, x ∈R. (1) 求函数f(x) 的最小正周期; (2) 求函数f(x) 在区间 [π 8 , 3π 4 ] 上的最小值和最大值.
2. 2. 已知甲盒内有大小相同的1 个红球和3 个黑球, 乙盒内有大小相同的2 个 红球和4 个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2 个球. (1) 求取出的4 个球均为黑球的概率; (2) 求取出的4 个球中恰有1 个红球的概率; (3) 设ξ 为取出的4 个球中红球的个数, 求ξ 的分布列和数学期望.
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, AB ⊥AD, AC ⊥CD, ∠ABC = 60◦, PA = AB = BC, E 是PC 的中点. (1) 证明CD ⊥AE; (2) 证明PD ⊥平面ABE; (3) 求二面角A −PD −C 的大小. A D B C P E 413
4. 4. 已知函数f(x) = 2ax −a2 + 1 x2 + 1 (x ∈R), 其中a ∈R. (1) 当a = 1 时, 求曲线y = f(x) 在点(2, f(2)) 处的切线方程; (2) 当a̸ = 0 时, 求函数f(x) 的单调区间与极值.
5. 5. 在数列{an} 中, a1 = 2, an+1 = λan + λn+1 + (2 −λ)2n (n ∈N∗), 其中 λ > 0. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 求数列{an} 的前n 项和Sn; (3) 证明存在k ∈N∗, 使得an+1 an ⩽ak+1 ak 对任意n ∈N∗均成立.
6. 6. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, A 是椭圆上 的一点, AF2 ⊥F1F2, 原点O 到直线AF1 的距离为1 3 |OF1|. (1) 证明a = √ 2b; (2) 设Q1, Q2 为椭圆上的两个动点, OQ1 ⊥OQ2, 过原点O 作直线Q1Q2 的垂线OD, 垂足为D, 求点D 的轨迹方程. 414

原卷配图（含真实几何/应用题图示）