2007年安徽（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年安徽（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. 若A = {x | x2 = 1}, B = {x | x2 −2x −3 = 0}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {3} B. {1} C. ∅ D. {−1}
2. 2. 椭圆x2 + 4y2 = 1 的离心率为 ( ) (A) √ 3 2 4 (C) √ 2 2 3 5分
   B. 3 D. 2
3. 3. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn. 若a2 = 1, a3 = 3, S4 = ( ) 5分
   A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
4. 4. 下列函数中, 反函数是其自身的函数为 ( ) x, x ∈(0, +∞) 5分
   A. f(x) = x2, x ∈[0, +∞) B. f(x) = x3, x ∈(−∞, +∞) C. f(x) = ex, x ∈(−∞, +∞) D. f(x) = 1
5. 5. 若圆x2 + y2 −2x −4y = 0 的圆心到直线x −y + a = 0 的距离为 √ 2 2 , 则 ( ) 2 或3 2 5分
   A. 的值为 A. −2 或2 B. 1 C. 2 或0 D. −2 或0
6. 6. 设l, m, n 均为直线, 其中m, n 在平面α 内, “l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n” 的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 图中的图象所表示的函数的解析式为 ( ) x 1 2 y 3 2 O 2|x −1| (0 ⩽x ⩽2) 2 −3 2|x −1| (0 ⩽x ⩽2) 2 −|x −1| (0 ⩽x ⩽2) 5分
   A. y = 3 B. y = 3 C. y = 3 D. y = 1 −|x −1| (0 ⩽x ⩽2)
8. 8. 设a > 1, 且m = loga(a2 + 1), n = loga(a −1), p = loga(2a), 则m, n, p 的大小关系为 ( ) 5分
   A. n > m > p B. m > p > n C. m > n > p D. p > m > n
9. 9. 如果点P 在平面区域        2x −y + 2 ⩾0, x + y −2 ⩽0, 2y −1 ⩾0 上, 点Q 在曲线x2 +(y + 2)2 = 1 上, 那么|PQ| 的最小值为 ( ) 2 (B) 4 √ 5 −1 √ 2 −1 (D) √ 2 −1 5分
   A. 3 C. 2
10. 10. 把边长为 √ 2 的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角, 折成直二面 角后, 在A, B, C, D 四点所在的球面上, B 与D 两点之间的球面距离 为 ( ) (A) √ 2π 2 3 5分
    B. π C. π D. π
11. 11. 定义在R 上的函数f(x) 既是奇函数, 又是周期函数, T 是它的一个正周 期. 若将方程f(x) = 0 在闭区间[−T, T] 上的根的个数记为n, 则n 可能 为 ( ) 5分
    A. 0 B. 1 C. 3 D. 5

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知(1 −x)5 = a0 +a1x+a2x2 +a3x3 +a4x4 +a5x5, 则(a0 +a2 +a4)(a1 + a3 + a5) 的值等于 . 5分
2. 2. 在四面体O −ABC 中, # » AB = a, # » OB = b, # » OC = c, D 为BC 的中点, E 为AD 的中点, 则# » OE = . (用a, b, c 表示) 5分
3. 3. 在正方体上任意选择两条棱, 则这两条棱相互平行的概率为 . 5分
4. 4. 函数f(x) = 3 sin ( 2x −π 3 ) 的图象为C, 如下结论中正确的是 . (写 出所有正确结论的编号) ①图象C 关于直线x = 11 12π 对称; ②图象C 关于点 (2π 3 , 0 ) 对称; ③函数f(x) 在区间 ( −π 12, 5π 12 ) 内是增函数; ④由y = 3 sin 2x 的图象向右平移π 3 个单位长度可以得到图象C. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 解不等式: (|3x −1| −1)(sin x −2) > 0.
2. 2. 如图, 在六面体ABCD −A1B1C1D1 中, 四边形ABCD 是边长为2 的正 方形, 四边形A1B1C1D1 是边长为1 的正方形, DD1 ⊥平面A1B1C1D1, DD1 ⊥平面ABCD, DD1 = 2. (1) 求证: A1C1 与AC 共面, B1D1 与BD 共面; (2) 求证: 平面A1ACC1 ⊥平面B1BDD1; (3) 求二面角A −BB1 −C 的大小. (用反三角函数值表示) A B C D A1 B1 C1 D1
3. 3. 设F 是抛物线G: x2 = 4y 的焦点. (1) 过点P(0, −4) 作抛物线G 的切线, 求切线方程; (2) 设A, B 为抛物线G 上异于原点的两点, 且满足# » FA · # » FB = 0, 延长 AF, BF 分别交抛物线G 于点C, D, 求四边形ABCD 面积的最小值. 349
4. 4. 在医学生物学试验中, 经常以果蝇作为试验对象, 一个关有6 只果蝇的笼 子里, 不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8 只蝇子: 6 只果蝇和2 只苍 蝇), 只好把笼子打开一个小孔, 让蝇子一只一只地往外飞, 直到两只苍蝇 都飞出, 再关闭小孔. (1) 求笼内恰好剩下1 只果蝇的概率; (2) 求笼内至少剩下5 只果蝇的概率.
5. 5. 设函数f(x) = −cos2 x −4t sin x 2 cos x 2 + 4t3 + t2 −3t + 4, x ∈R, 其中 |t| ⩽1. 将f(x) 的最小值记为g(t). (1) 求g(t) 的表达式; (2) 讨论g(t) 在区间(−1, 1) 内的单调性并求极值.
6. 6. 某国采用养老储备金制度. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金, 数目 为a1, 以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d > 0), 因此, 历年所交纳 的储务金数目a1, a2, · · · 是一个公差为d 的等差数列, 与此同时, 国家给 予优惠的计息政策, 不仅采用固定利率, 而且计算复利. 这就是说, 如果固 定年利率为r (r > 0), 那么, 在第n 年末, 第一年所交纳的储备金就变为 a1(1 + r)n−1, 第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r)n−2, · · · . 以Tn 表示 到第n 年末所累计的储备金总额. (1) 写出Tn 与Tn−1 (n ⩾2) 的递推关系式; (2) 求证: Tn = An + Bn, 其中{An} 是一个等比数列, {Bn} 是一个等差数 列. 350

原卷配图（含真实几何/应用题图示）