本卷为官方高考数学真题（2007年安徽（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 下列函数中, 反函数是其自身的函数为
(
)
x, x ∈(0, +∞) 5分
A. f(x) = x2, x ∈[0, +∞)
B. f(x) = x3, x ∈(−∞, +∞)
C. f(x) = ex, x ∈(−∞, +∞)
D. f(x) = 1
-
2. 设l, m, n 均为直线, 其中m, n 在平面α 内, “l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n”
的
(
) 5分
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
3. 若对任意x ∈R, 不等式|x| ⩾ax 恒成立, 则实数a 的取值范围是
(
) 5分
A. a < −1
B. |a| ⩽1
C. |a| < 1
D. a ⩾1
-
4. 若a 为实数,
2 + ai
1 +
√
2i = −
√
2i, 则a 等于
(
)
(A)
√
2
√
2
√
2
√
2 5分
B. −
C. 2
D. −2
-
5. 若A = {x ∈Z | 2 ⩽22−x < 8}, B = {x ∈R | |log2x| > 1}, 则A ∩(∁RB)
的元素个数为
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
-
6. 函数f(x) = 3 sin
(
2x −π
3
)
的图象为C,
①图象C 关于直线x = 11
12π 对称;
②函数f(x) 在区间
(
−π
12
5π
12
)
内是增函数;
③由y = 3 sin 2x 的图象向右平移π
3 个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中, 正确论断的个数是
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
-
7. 如果点P 在平面区域
2x −y + 2 ⩾0,
x −2y + 1 ⩽0,
x + y −2 ⩽0
上, 点Q 在曲线x2 +(y + 2)2 = 1
上, 那么|PQ| 的最小值为
(
)
(A)
√
5 −1
(B)
4
√
5 −1
√
2 −1
(D)
√
2 −1 5分
C. 2
-
8. 半径为1 的球面上的四点A, B, C, D 是正四面体的顶点, 则A 与B 两点
间的球面距离为
(
)
(
−
√
3
3
)
(
−
√
6
3
)
(
−1
3
)
(
−1
4
) 5分
A. arccos
B. arccos
C. arccos
D. arccos
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9. 如图, F1 和F2 分别是双曲线x2
a2 −r2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两个焦点, A
和B 是以O 为圆心, 以|OF1| 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且
△F2AB 是等边三角形, 则双曲线的离心率为
(
)
x
y
O
F1
F2
A
B
(A)
√
3
(B)
√
5
(C)
√
5
2
√
3 5分
D. 1 +
-
10. 以Φ(x) 表示标准正态总体在区间(−∞, x) 内取值的概率, 若随机变量ξ
服从正态分布N(µ, σ2), 则概率P(|ξ −µ| < σ) 等于
(
)
(1 −µ
σ
) 5分
A. Φ(µ + σ) −Φ(µ −σ)
B. Φ(1) −Φ(−1)
C. Φ
D. 2Φ(µ + σ)
-
11. 定义在R 上的函数f(x) 既是奇函数, 又是周期函数, T 是它的一个正周
期. 若将方程f(x) = 0 在闭区间[−T, T] 上的根的个数记为n, 则n 可能
为
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 3
D. 5
-
1. 若
(
2x3 + 1
√x
)n
的展开式中含有常数项, 则最小的正整数n 等于
. 5分
-
2. 在四面体O −ABC 中, # »
AB = a, # »
OB = b, # »
OC = c, D 为BC 的中点, E
为AD 的中点, 则# »
OE =
. (用a, b, c 表示) 5分
-
3. 如图, 抛物线y = −x2 + 1 与x 轴的正半轴交于点A, 将线段OA 的n 等
分点从左至右依次记为P1, P2, · · · , Pn−1, 过这些分点分别作x 轴的垂线,
与抛物线的交点依次为Q1, Q2, · · · , Qn−1, 从而得到n −1 个直角三角形
△Q1OP1, △Q2P1P2, · · · , △Qn−1Pn−2Pn−1. 当n →∞时, 这些三角形的
面积之和的极限为
.
x
y
O P1P2
Q1Q2
Pn−2 Pn−1
Qn−1
A
· · · · · ·
y = −x2 + 1 5分
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4. 在正方体上任意选择4 个顶点, 它们可能是如下各种几何形体的4 个顶点,
这些几何形体是
. (写出所有正确结论的编号)
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形, 有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体. 5分
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1. 已知0
<
a
<
π
4 ,
β 为f(x)
=
cos
(
2x + π
8
)
的最小正周期,
a
=
(
tan
(
4β
)
, −1
)
, b
=
(cos α, 2), 且a · b
=
m.
求
2cos2α + sin 2(α + β)
cos α −sin α
的值.
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2. 如图, 在六面体ABCD −A1B1C1D1 中, 四边形ABCD 是边长为2 的正
方形, 四边形A1B1C1D1 是边长为1 的正方形, DD1 ⊥平面A1B1C1D1,
DD1 ⊥平面ABCD, DD1 = 2.
(1) 求证: A1C1 与AC 共面, B1D1 与BD 共面;
(2) 求证: 平面A1ACC1 ⊥平面B1BDD1;
(3) 求二面角A −BB1 −C 的大小. (用反三角函数值表示)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
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3. 设a ⩾0, f(x) = x −1 −ln2 x + 2a ln x (x > 0).
(1) 令F(x) = xf ′(x), 讨论F(x) 在(0, +∞) 内的单调性并求极值;
(2) 求证: 当x > 1 时, 恒有x > ln2 x −2a ln x + 1.
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4. 如图, 曲线G 的方程为y2 = 2x (y ⩾0). 以原点为圆心, 以t (t > 0) 为半
径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B. 直线AB 与x
轴相交于点C.
(1) 求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式;
(2) 设曲线G 上点D 的横坐标为a + 2, 求证: 直线CD 的斜率为定值.
x
y
O
G: y2 = 2x
a
C
D
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5. 在医学生物学试验中, 经常以果蝇作为试验对象, 一个关有6 只果蝇的笼
子里, 不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8 只蝇子: 6 只果蝇和2 只苍
蝇), 只好把笼子打开一个小孔, 让蝇子一只一只地往外飞, 直到两只苍蝇
都飞出, 再关闭小孔. 以ξ 表示笼内还剩下的果蝇的只数.
(1) 写出ξ 的分布列(不要求写出计算过程);
(2) 求数学期望Eξ;
(3) 求概率P(ξ ⩾Eξ).
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6. 某国采用养老储备金制度. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金, 数目
为a1, 以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d > 0), 因此, 历年所交纳
的储务金数目a1, a2, · · · 是一个公差为d 的等差数列, 与此同时, 国家给
予优惠的计息政策, 不仅采用固定利率, 而且计算复利. 这就是说, 如果固
定年利率为r (r > 0), 那么, 在第n 年末, 第一年所交纳的储备金就变为
a1(1 + r)n−1, 第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r)n−2, · · · . 以Tn 表示
到第n 年末所累计的储备金总额.
(1) 写出Tn 与Tn−1 (n ⩾2) 的递推关系式;
(2) 求证: Tn = An + Bn, 其中{An} 是一个等比数列, {Bn} 是一个等差数
列.
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