2007年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数4 + 3i 1 + 2i 的实部是 ( ) 5分
   A. −2 B. 2 C. 3 D. 4
2. 2. 已知集合M = {−1, 1}, N = { x  1 2 < 2x+1 < 4, x ∈Z } , 则M∩N =( ) 5分
   A. {−1, 1} B. {−1} C. {0} D. {−1, 0}
3. 3. 下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是 ( ) ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 5分
   A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
4. 4. 要得到函数y = sin x 的图象, 只需将函数y = cos ( x −π 3 ) 的图象 ( ) 6 个单位 3 个单位 3 个单位 6 个单位 5分
   A. 向右平移π B. 向右平移π C. 向左平移π D. 向左平移π
5. 5. 已知向量a = (1, n), b = (−1, n), 若2a −b 与b 垂直, 则|a| = ( ) (B) √ 2 5分
   A. 1 C. 2 D. 4
6. 6. 给出下列三个等式: f(xy) = f(x) + f(y), f(x + y) = f(x)f(y), f(x + y) = f(x) + f(y) 1 −f(x)f(y). 下列函数中不满足其中任何一个等式的是 ( ) 5分
   A. f(x) = 3x B. f(x) = sin x C. f(x) = log2x (D) f(x) = tan x
7. 7. 命题“对任意的x ∈R, x3 −x2 + 1 ⩽0”的否定是 ( ) 5分
   A. 不存在x ∈R, x3 −x2 + 1 ⩽0 B. 存在x ∈R, x3 −x2 + 1 ⩽0 C. 存在x ∈R, x3 −x2 + 1 > 0 D. 对任意的x ∈R, x3 −x2 + 1 > 0
8. 8. 某班50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于13 秒与19 秒之间, 将测 试结果按如下方式分成六组: 第一组, 成绩大于等于13 秒且小于14 秒; 第 二组, 成绩大于等于14 秒且小于15 秒; · · · ; 第六组, 成绩大于等于18 秒 且小于19 秒. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为x, 成绩大于等于15 秒且小于 17 秒的学生人数为y, 则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( ) 频率 组距 0 秒 13 14 15 16 17 18 19 0.02 0.18 0.36 0.34 0.06 0.04 5分
   A. 0.9, 35 B. 0.9, 45 C. 0.1, 35 D. 0.1, 45
9. 9. 设O 是坐标原点, F 是抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点, A 是抛物线上的 一点, # » FA 与x 轴正向的夹角为60◦, 则 # » OA  为 ( ) 4 (B) √ 21p 2 (C) √ 13 6 p 36p 5分
   A. 21p D. 13
10. 10. 阅读如图的程序框图, 若输入的n 是100, 则输出的变量S 和T 的值依次 是 ( ) 开始 输入n S = 0, T = 0 n < 2? S = S + n n = n −1 T = T + n n = n −1 输出S, T 结束 否 是 5分
    A. 2550, 2500 B. 2550, 2550 C. 2500, 2500 D. 2500, 2550
11. 11. 设函数y = x3 与y = (1 2 )x−2 的图象的交点为(x0, y0), 则x0 所在的区 间是 ( ) 5分
    A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)
12. 12. 设集合A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, 分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b, 确定平面上的一个点P(a, b), 记“点P(a, b) 落在直线x + y = n 上” 为事件Cn (2 ⩽n ⩽5, n ∈N), 若事件Cn 的概率最大, 则n 的所有可能 值为 ( ) 5分
    A. 3 B. 4 C. 2 和5 D. 3 和4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设函数f1(x) = x 1 2 , f2(x) = x−1, f3(x) = x2, 则f1(f2(f3(2007))) = . 5分
2. 2. 函数y = a1−x (a > 0, a̸ = 1) 的图象恒过定点A, 若点A 在直线 mx + ny −1 = 0 (mn > 0) 上, 则1 m + 1 n 的最小值为 . 5分
3. 3. 当x ∈(1, 2) 时, 不等式x2 + mx + 4 < 0 恒成立, 则m 的取值范围 是 . 5分
4. 4. 与直线x + y −2 = 0 和曲线x2 + y2 −12x −12y + 54 = 0 都相切的半径 最小的圆的标准方程是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, tan C = 3 √ 7. (1) 求cos C; (2) 若# » CB · # » CA = 5 2, 且a + b = 9, 求c. 399
2. 2. 设{an} 是公比大于1 的等比数列, Sn 为数列{an} 的前n 项和. 已知 S3 = 7, 且a1 + 3, 3a2, a3 + 4 构成等差数列. (1) 求数列{an} 的通项; (2) 令bn = ln a3n+1, n = 1, 2, · · · , 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
3. 3. 本公司计划2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告, 广告总费用不超过9 万元, 甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/分 钟和200 元/分钟. 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告, 能 给公司事来的收益分别为0.3 万元和0.2 万元. 问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间, 才能使公司的收益最大, 最大收益是多少万元?
4. 4. 如图, 在直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 已知DC = DD1 = 2AD = 2AB, AD ⊥DC, AB DC. (1) 求证: D1C ⊥AC1; (2) 设E 是DC 上一点, 试确定E 的位置, 使D1E 平面A1BD, 并说 明理由. A B C D A1 B1 C1 D1
5. 5. 设函数f(x) = ax2 + b ln x, 其中ab̸ = 0. 证明: 当ab > 0 时, 函数f(x) 没 有极值点; 当ab < 0 时, 函数f(x) 有且只有一个极值点, 并求出极值.
6. 6. 已知椭圆C 的中心在坐标原点, 焦点在x 轴上, 椭圆C 上的点到焦点距离 的最大值为3, 最小值为1. (1) 求椭圆C 的标准方程; (2) 若直线l: y = kx + m 与椭圆C 相交于A, B 两点(A, B 不是左右顶 点), 且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点. 求证: 直线l 过定点, 并求 出该定点的坐标. 400

原卷配图（含真实几何/应用题图示）