2007年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年山东（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若z = cos θ + i sin θ (i 为虚数单位), 则z2 = −1 的θ 值可能是 ( ) 6 4 3 2 5分
   A. π B. π C. π D. π
2. 2. 已知集合M = {−1, 1}, N = { x  1 2 < 2x+1 < 4, x ∈Z } , 则M ∩ N = ( ) 5分
   A. {−1, 1} B. {−1} C. {0} D. {−1, 0}
3. 3. 下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是 ( ) ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 5分
   A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
4. 4. 设a ∈ { −1, 1, 1 2, 3 } , 则使函数y = xα 的定义域为R 且为奇函数的所 有α 值为 ( ) 5分
   A. 1, 3 B. −1, 1 C. −1, 3 D. −1, 1, 3
5. 5. 函数y = sin ( 2x + π 6 ) + cos ( 2x + π 3 ) 的最小正周期和最大值分别为( ) √ 2 √ 2 5分
   A. π, 1 B. π, C. 2π, 1 D. 2π,
6. 6. 给出下列三个等式: f(xy) = f(x) + f(y), f(x + y) = f(x)f(y), f(x + y) = f(x) + f(y) 1 −f(x)f(y). 下列函数中不满足其中任何一个等式的是 ( ) 5分
   A. f(x) = 3x B. f(x) = sin x C. f(x) = log2x (D) f(x) = tan x
7. 7. 命题“对任意的x ∈R, x3 −x2 + 1 ⩽0”的否定是 ( ) 5分
   A. 不存在x ∈R, x3 −x2 + 1 ⩽0 B. 存在x ∈R, x3 −x2 + 1 ⩽0 C. 存在x ∈R, x3 −x2 + 1 > 0 D. 对任意的x ∈R, x3 −x2 + 1 > 0
8. 8. 某班50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于13 秒与19 秒之间, 将测 试结果按如下方式分成六组: 第一组, 成绩大于等于13 秒且小于14 秒; 第 二组, 成绩大于等于14 秒且小于15 秒; · · · ; 第六组, 成绩大于等于18 秒 且小于19 秒. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为x, 成绩大于等于15 秒且小于 17 秒的学生人数为y, 则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( ) 频率 组距 0 秒 13 14 15 16 17 18 19 0.02 0.18 0.36 0.34 0.06 0.04 5分
   A. 0.9, 35 B. 0.9, 45 C. 0.1, 35 D. 0.1, 45
9. 9. 下列各小题中, p 是q 的充要条件的是 ( ) ①p: m < 2 或m > 6; q: y = x2 + mx + m + 3 有两个不同的零点. ②p: f(−x) f(x) = 1; q: y = f(x) 是偶函数. ③p: cos α = cos β; q: tan α = tan β. ④p: A ∩B = A; q: ∁UB ⊆∁UA. 5分
   A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
10. 10. 阅读如图的程序框图, 若输入的n 是100, 则输出的变量S 和T 的值依次 是 ( ) 开始 输入n S = 0, T = 0 n < 2? S = S + n n = n −1 T = T + n n = n −1 输出S, T 结束 否 是 5分
    A. 2500, 2500 B. 2550, 2550 C. 2500, 2550 D. 2550, 2500
11. 11. 在直角△ABC 中, CD 是斜边AB 上的高, 则下列等式不成立的是 ( ) (A) # » AC  2 = # » AC · # » AB (B) # » BC  2 = # » BA · # » BC (C) # » AB  2 = # » AC · # » CD (D) # » CD  2 = (# » AC · # » AB ) × (# » BA · # » BC ) # » AB  2 5分
12. 12. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动: 质点每次移动一个单位; 移 动的方向为向上或向右, 并且向上、向右移动的概率都是1 2. 质点P 移动 5 次后位于点(2, 3) 的概率为 ( ) (A) (1 2 )5 5 (1 2 )5 5 (1 2 )3 5C3 5 (1 2 )5 5分
    B. C2 C. C3 D. C2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设O 是坐标原点, F 是抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点, A 是抛物线上的 一点, # » FA 与x 轴正向的夹角为60◦, 则 # » OA  为 . 5分
2. 2. 设D 是不等式组              x + 2y ⩽10, 2x + y ⩾3, 0 ⩽x ⩽4, y ⩾1 表示的平面区域, 则D 中的点P(x, y) 到 直线x + y = 10 距离的最大值是 . 5分
3. 3. 与直线x + y −2 = 0 和曲线x2 + y2 −12x −12y + 54 = 0 都相切的半径 最小的圆的标准方程是 . 5分
4. 4. 函数y = loga(x + 3) −1 (a > 0, a̸ = 1) 的图象恒过定点A, 若点A 在直 线mx + ny + 1 = 0 上, 其中mn > 0, 则1 m + 2 n 的最小值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设数列{an} 满足a1 + 3a2 + 32a3 + · · · + 3n−1an = n 3 , n ∈N∗. (1) 求数列{an} 的通项; (2) 设bn = n an , 求数列{bn} 的前n 项和Sn. 397
2. 2. 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量ξ 表示方程 x2 + bx + c = 0 实根的个数(重根按一个计). (1) 求方程x2 + bx + c = 0 有实根的概率; (2) 求ξ 的分布列和数学期望; (3) 求在先后两次出现的点数中有5 的条件下, 方程x2 + bx + c = 0 有实 根的概率.
3. 3. 如图, 在直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 已知DC = DD1 = 2AD = 2AB, AD ⊥DC, AB DC. (1) 设E 是DC 的中点, 求证: D1E 平面A1BD; (2) 求二面角A1 −BD −C1 的余弦值. A B C D A1 E B1 C1 D1
4. 4. 如图, 甲船以每小时30 √ 2 海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀 速直线航行. 当甲船位于A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西105◦方向的B1 处, 此时两船相距20 海里. 当甲船航行20 分钟到达A2 处时, 乙船航行到 甲船的北偏西120◦方向的B2 处, 此时两船相距10 √ 2 海里. 问乙船每小 时航行多少海里? A2 A1 甲 105◦ 120◦ 乙 B1 B2 北
5. 5. 已知椭圆C 的中心在坐标原点, 焦点在x 轴上, 椭圆C 上的点到焦点距 离的最大值为3, 最小值为1. (1) 求椭圆C 的标准方程; (2) 若直线l: y = kx + m 与椭圆C 相交于A, B 两点(A, B 不是左右顶 点), 且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点. 求证: 直线l 过定点, 并求 出该定点的坐标.
6. 6. 设函数f(x) = x2 + b ln(x + 1), 其中b̸ = 0. (1) 当b > 1 2 时, 判断函数f(x) 在定义域上的单调性; (2) 求函数f(x) 的极值点; (3) 证明对任意的正整数n, 不等式ln ( 1 n + 1 ) > 1 n2 −1 n3 都成立. 398

原卷配图（含真实几何/应用题图示）