2007年广东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年广东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合M = {x | 1 + x > 0}, N = { x  1 1 −x > 0 } , 则M ∩N = ( ) 5分
   A. {x | −1 ⩽x < 1} B. {x | x > 1} C. {x | −1 < x < 1} D. {x | x ⩾−1}
2. 2. 若复数(1 + bi)(2 + i) 是纯虚数(i 是虚数单位, b 是实数), 则b = ( ) 2 2 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 3. 若函数f(x) = x3 (x ∈R), 则函数y = f(−x) 在其定义域上是 ( ) 5分
   A. 单调递减的偶函数 B. 单调递减的奇函数 C. 单调递增的偶函数 D. 单调递增的奇函数
4. 4. 若向量a, b 满足|a| = |b| = 1, a 与b 的夹角为60◦, 则a · a + a · b =( ) 2 2 √ 3 2 5分
   A. 1 B. 3 C. 1 + D. 2
5. 5. 客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1 小时到达乙地, 在乙地停留了半 小时, 然后以80 km/h 的速度匀速行驶1 小时到达丙地. 下列描述客车从 甲地出发, 经过乙地, 最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的 图象中, 正确的是 ( ) (A) t (h) s (km) O 2 3 1 60 80 100 120 140 160 (B) t (h) s (km) O 2 3 1 60 80 100 120 140 160 (C) t (h) s (km) O 2 3 1 60 80 100 120 140 160 (D) t (h) s (km) O 2 3 1 60 80 100 120 140 160 5分
6. 6. 若l, m, n 是互不相同的空间直线, α, β 是不重合的平面, 则下列命题中为 真命题的是 ( ) β, l ⊂α, n ⊂β, 则l n (B) 若α ⊥β, l ⊂α, 则l ⊥β m β, 则α ⊥β 5分
   A. 若α C. 若l ⊥n, m ⊥n, 则l D. 若l ⊥α, l
7. 7. 图1 是某县参加2007 年高考的学生身高条形统计图, 从左到右的各条形 表示的学生人数依次记为A1, A2, · · · , A10 (如A2 表示身高(单位: cm) 在[150, 155) 内的学生人数). 图2 是统计图1 中身高在一定范围内学生 人数的一个算法流程图. 现要统计身高在160 ∼180 cm (含160 cm, 不含 180 cm) 的学生人数, 那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 ( ) 人数/人 0 身高/cm 100 50 200 150 250 300 350 400 450 500 550 600 图1 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 开始 输入A1, A2, · · · , A10 s = 0, i = 4 s = s + Ai i = i + 1 输出s 结束 否 是 图2 5分
   A. i < 9 B. i < 8 C. i < 7 D. i < 6
8. 8. 在一个袋子中装有分别标注数字1, 2, 3, 4, 5 的五个小球, 这些小球除标注 的数字外完全相同. 现从中随机取出2 个小球, 则取出的小球标注的数字 之和为3 或6 的概率是 ( ) 10 5 10 12 5分
   A. 3 B. 1 C. 1 D. 1
9. 9. 已知简谐运动f(x) = 2 sin (π 3 x + φ ) ( |φ| < π 2 ) 的图象经过点(0, 1), 则 该简谐运动的最小正周期T 和初相φ 分别为 ( ) 6 3 6 3 5分
   A. T = 6, φ = π B. T = 6, φ = π C. T = 6π, φ = π D. T = 6π, φ = π
10. 10. 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给A, B, C, 点的这批配件分别调整为40, 45, 54, 61 件, 但调整只能在相邻维修点之间 进行, 那么要完成上述调整, 最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整 到相邻维修点的调动件次为n) 为 ( ) A B D C 5分
    D. 四个维修点某种配件各50 件. 在使用前发现需将A, B, C, D 四个维修 A. 18 B. 17 C. 16 D. 15

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在原点O, 且 过点P(2, 4), 则该抛物线的方程是 . 5分
2. 2. 函数f(x) = x ln x (x > 0) 的单调递增区间是 . 5分
3. 3. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = n2 −9n, 则其通项an = ; 若它的 第k 项满足5 < ak < 8, 则k = . 5分
4. 4. 在极坐标系中, 直线l 的方程为ρ sin θ = 3, 则点 ( 2, π 6 ) 到直线l 的距离 为 . 5分
5. 5. 如图所示, 圆O 的直径AB = 6, C 为圆周上一点, BC = 3 过C 作圆的切 线l, 过A 作l 的垂线AD, 垂足为D, 则∠DAC = . A O B l C D • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A(3, 4), B(0, 0), C(c, 0). (1) 若# » AB · # » AC = 0, 求c 的值; (2) 若c = 5, 求sin ∠A 的值. 373
2. 2. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形, 正视图(或称主视图) 是一个底 边长为8, 高为4 的等腰三角形, 侧视图(或称左视图) 是一个底边长为6, 高为4 的等腰三角形. (1) 求该几何体的体积V ; (2) 求该几何体的侧面积S. 8 6
3. 3. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨) 与相应的生产能耗y (吨标准煤) 的几组对照数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1) 请画出上表的散点图; (2) 请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程 y = bbx + ba; (3) 已知该厂技改前100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤. 试根据(2) 求出的线性回归方程, 预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多 少吨标准煤? (参考数值: 3 × 2.5 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 4.5 = 66.5)
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆心在第二象限, 半径为2 √ 2 的圆C 与 直线y = x 相切于坐标原点O. 椭圆x2 a2 + y2 9 = 1 与圆C 的一个交点到 椭圆两点的距离之和为10. (1) 求圆C 的方程; (2) 试探求C 上是否存在异于原点的点Q, 使Q 到椭圆右焦点F 的距 离等于线段OF 的长. 若存在, 请求出点Q 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
5. 5. 已知函数f(x) = x2 + x −1, α, β 是方程f(x) = 0 的两个根(α > β), (1) 求α, β 的值; (2) 已知对任意的正整数n, 都有an > α, 记bn = ln an −β an −α (n = 1, 2, · · · ), 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
6. 6. 已知a 是实数, 函数f(x) = 2ax2 + 2x −3 −a. 如果函数y = f(x) 在区间 [−1, 1] 上有零点, 求a 的取值范围. 374

原卷配图（含真实几何/应用题图示）