2007年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 1 √1 −x 的定义域为M, g(x) = ln(1 + x) 的定义域为N, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. {x | x > −1} B. {x | x < 1} C. {x | −1 < x < 1} D. ∅
2. 2. 若复数(1 + bi)(2 + i) 是纯虚数(i 是虚数单位, b 是实数), 则b = ( ) 2 2 5分
   A. 2 B. 1 C. −1 D. −2
3. 3. 若函数f(x) = sin2x −1 2 (x ∈R), 则f(x) 是 ( ) 2 的奇函数 5分
   A. 最小正周期为π B. 最小正周期为π 的奇函数 C. 最小正周期为2π 的偶函数 D. 最小正周期为π 的偶函数
4. 4. 客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1 小时到达乙地, 在乙地停留了半 小时, 然后以80 km/h 的速度匀速行驶1 小时到达丙地. 下列描述客车从 甲地出发, 经过乙地, 最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的 图象中, 正确的是 ( ) (A) t (h) s (km) O 2 3 1 60 80 100 120 140 160 (B) t (h) s (km) O 2 3 1 60 80 100 120 140 160 (C) t (h) s (km) O 2 3 1 60 80 100 120 140 160 (D) t (h) s (km) O 2 3 1 60 80 100 120 140 160 5分
5. 5. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = n2 −9n, 第k 项满足5 < ak < 8, 则 k = ( ) 5分
   A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
6. 6. 图1 是某县参加2007 年高考的学生身高条形统计图, 从左到右的各条形 表示的学生人数依次记为A1, A2, · · · , A10 (如A2 表示身高(单位: cm) 在[150, 155) 内的学生人数). 图2 是统计图1 中身高在一定范围内学生 人数的一个算法流程图. 现要统计身高在160 ∼180 cm (含160 cm, 不含 180 cm) 的学生人数, 那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 ( ) 人数/人 0 身高/cm 100 50 200 150 250 300 350 400 450 500 550 600 图1 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 开始 输入A1, A2, · · · , A10 s = 0, i = 4 s = s + Ai i = i + 1 输出s 结束 否 是 图2 5分
   A. i < 6 B. i < 7 C. i < 8 D. i < 9
7. 7. 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给A, B, C, 点的这批配件分别调整为40, 45, 54, 61 件, 但调整只能在相邻维修点之间 进行, 那么要完成上述调整, 最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整 到相邻维修点的调动件次为n) 为 ( ) A B D C 5分
   D. 四个维修点某种配件各50 件. 在使用前发现需将A, B, C, D 四个维修 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
8. 8. 设S 是至少含有两个元素的集合. 在S 上定义了一个二元运算“∗”(即对任 意的a, b ∈S, 对于有序元素对(a, b), 在S 中有唯一确定的元素a ∗b 与 之对应). 若对任意的a, b ∈S, 有a ∗(b ∗a) = b, 则对任意的a, b ∈S, 下 列等式中不恒成立的是 ( ) 5分
   A. (a ∗b) ∗a = a B. [a ∗(b ∗a)] ∗(a ∗b) = a C. b ∗(b ∗b) = b D. (a ∗b) ∗[b ∗(a ∗b)] = b

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 甲, 乙两个袋中装有红, 白两种颜色的小球, 这些小球除颜色外完全相同. 其中甲袋装有4 个红球, 2 个白球, 乙袋装有1 个红球, 5 个白球. 现分别 从甲, 乙两袋中各随机取出一个球, 则取出的两球是红球的概率为 . (答案用分数表示) 5分
2. 2. 若向量a, b 满足|a| = |b| = 1, a, b 的夹角为120◦, 则a·a+a·b = . 5分
3. 3. 在平面直角坐标系xOy 中, 有一定点A(2, 1). 若线段OA 的垂直平分线 过抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点, 则该抛物线的准线方程是 . 5分
4. 4. 如果一个凸多面体是n 棱锥, 那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直 线共有 条. 这些直线中共有f(n) 对异面直线, 则f(4) = ; f(n) = . (答案用数字或n 的解析式表示) 5分
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为 { x = t + 3, y = 3 −t, (参数t ∈R), 圆C 的参数方程为 { x = 2 cos θ, y = 2 sin θ + 2, (参数θ ∈[0, 2π]), 则圆C 的圆心坐 标为 , 圆心到直线l 的距离为 . 5分
6. 6. 设函数f(x) = |2x −1| + x + 3, 则f(−2) = ; 若f(x) ⩽5, 则x 的 取值范围是 . 5分
7. 7. 如图所示, 圆O 的直径AB = 6, C 为圆周上一点, BC = 3. 过点C 作 圆的切线l, 过A 做l 的垂线AD, AD 分别与直线l, 圆交于点D, E, 则 ∠DAC = , 线段AE 的长为 . A O B l C D E • 371 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A(3, 4), B(0, 0), C(c, 0). (1) 若c = 5, 求sin ∠A 的值; (2) 若∠A 是钝角, 求c 的取值范围.
2. 2. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨) 与相应的生产能耗y (吨标准煤) 的几组对照数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1) 请画出上表的散点图; (2) 请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程 y = bbx + ba; (3) 已知该厂技改前100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤. 试根据(2) 求出的线性回归方程, 预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多 少吨标准煤? (参考数值: 3 × 2.5 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 4.5 = 66.5)
3. 3. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆心在第二象限, 半径为2 √ 2 的圆C 与 直线y = x 相切于坐标原点O. 椭圆x2 a2 + y2 9 = 1 与圆C 的一个交点到 椭圆两点的距离之和为10. (1) 求圆C 的方程; (2) 试探求C 上是否存在异于原点的点Q, 使Q 到椭圆右焦点F 的距 离等于线段OF 的长. 若存在, 请求出点Q 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
4. 4. 如图所示, 等腰△ABC 的底边AB = 6 √ 6, 高CD = 3, 点E 是线段BD 上异于点B, D 的动点, 点F 在BC 边上, 且EF ⊥AB, 现沿EF 将 △BEF 折起到△PEF 的位置, 使PE ⊥AC, 记BE = x, V (x) 表示四 棱锥P −ACFE 的体积. (1) 求V (x) 的表达式; (2) 当x 为何值时, V (x) 取得最大值? (3) 当V (x) 取得最大值时, 求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值. E P F A B C D
5. 5. 已知a 是实数, 函数f(x) = 2ax2 + 2x −3 −a. 如果函数y = f(x) 在区间 [−1, 1] 上有零点, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知函数f(x) = x2 + x −1, α, β 是方程f(x) = 0 的两个根(α > β), (1) 求α, β 的值; (2) 证明: 对任意的正整数n, 都有an > α; (3) 记bn = ln an −β an −α (n = 1, 2, · · · ), 求数列{bn} 的前n 项和Sn. 372

原卷配图（含真实几何/应用题图示）