2007年新课标卷（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年新课标卷（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {x | x > −1}, B = {x | −2 < x < 2}, 则A ∪B = ( ) 5分
   A. {x | x > −2} B. {x | x > −1} C. {x | −2 < x < −1} D. {x | −1 < x < 2}
2. 2. 已知命题p: ∀x ∈R, sin x ⩽1, 则 ( ) 5分
   A. ¬p: ∃x ∈R, sin x ⩾1 B. ¬p: ∀x ∈R, sin x ⩾1 C. ¬p: ∃x ∈R, sin x > 1 D. ¬p: ∀x ∈R, sin x > 1
3. 3. 函数y = sin ( 2x −π 3 ) 在区间 [ −π 2 , π ] 的简图是 ( ) (A) x y O −π 2 π 6 −π 3 π 1 −1 (B) x y O −π 2 π 6 −π 3 π 1 −1 (C) x y O −π 2 −π 6 π 3 π 1 −1 (D) x y O −π 2 −π 6 π 3 π 1 −1 5分
4. 4. 已知平面向量a = (1, 1), b = (1, −1), 则向量1 2a −3 2b = ( ) 5分
   A. (−2, −1) B. (−2, 1) C. (−1, 0) D. (−1, 2)
5. 5. 如果执行下面的程序框图, 那么输出的S = ( ) 开始 k = 1 S = 0 k ⩽50? S = S + 2k k = k + 1 输出S 结束 是 否 5分
   A. 2450 B. 2500 C. 2550 D. 2652
6. 6. 已知a, b, c, d 成等比数列, 且曲线y = x2 −2x + 3 的顶点是(b, c), 则ad 等于 ( ) 5分
   A. 3 B. 2 C. 1 D. −2
7. 7. 已知抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)、 P3(x3, y3) 在抛物线上, 且2x2 = x1 + x3, 则有 ( ) 5分
   A. |FP1| + |FP2| = |FP3| B. |FP1|2 + |FP2|2 = |FP3|2 C. 2 |FP2| = |FP1| + |FP3| D. |FP2|2 = |FP1| · |FP3|
8. 8. 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺寸(单位: cm), 可得这 个几何体的体积是 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 20 20 20 10 10 20 3 cm3 3 cm3 5分
   A. 4000 B. 8000 C. 2000cm3 D. 4000cm3
9. 9. 若 cos 2α sin ( α −π 4 ) = − √ 2 2 , 则cos α + sin α 的值为 ( ) √ 7 2 2 2 (D) √ 7 2 5分
   A. − B. −1 C. 1
10. 10. 曲线y = ex 在点(2, e2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( ) 4e2 2 5分
    A. 9 B. 2e2 C. e2 D. e2
11. 11. 已知三棱锥S−ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上, 球心O 在AB 上, SO ⊥底面ABC, AC = √ 2r, 则球的体积与三棱锥体积之比是 ( ) 5分
    A. π B. 2π C. 3π D. 4π
12. 12. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20 次, 三人的测试成绩如 下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s1、s2、s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差, 则有( ) 5分
    A. s3 > s1 > s2 B. s2 > s1 > s3 C. s1 > s2 > s3 D. s2 > s3 > s1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2, 焦点到渐近线的距离为6, 则该双 曲线的离心率为 . 5分
2. 2. 设函数f(x) = (x + 1)(x + a) 为偶函数, 则a = . 5分
3. 3. i 是虚数单位, i + 2i2 + 3i3 + · · · + 8i8 = . (用a + bi 的形式表示, a, 5分
   B. ∈R)
4. 4. 已知{an} 是等差数列, a4 + a6 = 6, 其前5 项和S5 = 10, 则其公差 . 5分
   D. =

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 如图, 测量河对岸的塔高AB 时, 可以选与塔底B 在同一水平面内的两个 测点C 与D. 现测得∠BCD = α, ∠BDC = β, CD = s, 并在点C 测得 塔顶A 的仰角为θ, 求塔高AB. B A C D
2. 2. 如图, A, B, C, D 为空间四点. 在△ABC 中, AB = 2, AC = BC = √ 2, 等边三角形ADB 以AB 为轴运动. (1) 当平面ADB ⊥平面ABC 时, 求CD; (2) 当△ADB 转动时, 是否总有AB ⊥CD? 证明你的结论. B A D C 395
3. 3. 设函数f(x) = ln(2x + 3) + x2. (1) 讨论f(x) 的单调性； (2) 求f(x) 在区间 [ −3 4, 1 4 ] 的最大值和最小值.
4. 4. 设有关于x 的一元二次方程x2 + 2ax + b2 = 0. (1) 若a 是从0, 1, 2, 3 四个数中任取的一个数, b 是从0, 1, 2 三个数中任 取的一个数, 求上述方程有实根的概率; (2) 若a 是从区间[0, 3] 任取的一个数, b 是从区间[0, 2] 任取的一个数, 求 上述方程有实根的概率.
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆x2 + y2 −12x + 32 = 0 的圆心为Q, 过 点P(0, 2) 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的交点A、B. (1) 求k 的取值范围; (2) 是否存在常数k, 使得向量# » OA + # » OB 与# » PQ 共线? 如果存在, 求k 值; 如果不存在, 请说明理由.
6. 6. 如图, 已知AP 是⊙O 的切线, P 为切点, AC 是⊙O 的割线, 与⊙O 交于 (1) 证明A, P, O, M 四点共圆; (2) 求∠OAM + ∠APM 的大小. A O P B C M •
7. 7. ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为ρ = 4 cos θ, ρ = −4 sin θ. (1) 把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 求经过⊙O1, ⊙O2 交点的直线的直角坐标方程.
8. 8. 设函数f(x) = |2x + 1| −|x −4|. (1) 解不等式f(x) > 2; (2) 求函数y = f(x) 的最小值. 396

原卷配图（含真实几何/应用题图示）