本卷为官方高考数学真题（2007年新课标卷（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 已知命题p: ∀x ∈R, sin x ⩽1, 则
(
) 5分
A. ¬p: ∃x ∈R, sin x ⩾1
B. ¬p: ∀x ∈R, sin x ⩾1
C. ¬p: ∃x ∈R, sin x > 1
D. ¬p: ∀x ∈R, sin x > 1
-
2. 已知平面向量a = (1, 1), b = (1, −1), 则向量1
2a −3
2b =
(
) 5分
A. (−2, −1)
B. (−2, 1)
C. (−1, 0)
D. (−1, 2)
-
3. 函数y = sin
(
2x −π
3
)
在区间
[
−π
2 , π
]
的简图是
(
)
(A)
x
y
O
−π
2
π
6
−π
3
π
1
−1
(B)
x
y
O
−π
2
π
6
−π
3
π
1
−1
(C)
x
y
O
−π
2 −π
6
π
3
π
1
−1
(D)
x
y
O
−π
2 −π
6
π
3
π
1
−1 5分
-
4. 已知{an} 是等差数列, a10 = 10, 其前10 项和S10 = 70, 则其公差d =(
)
3
3
3
3 5分
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
-
5. 如果执行下面的程序框图, 那么输出的S =
(
)
开始
k = 1
S = 0
k ⩽50?
S = S + 2k
k = k + 1
输出S
结束
是
否 5分
A. 2450
B. 2500
C. 2550
D. 2652
-
6. 已知抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)、
P3(x3, y3) 在抛物线上, 且2x2 = x1 + x3, 则有
(
) 5分
A. |FP1| + |FP2| = |FP3|
B. |FP1|2 + |FP2|2 = |FP3|2
C. 2 |FP2| = |FP1| + |FP3|
D. |FP2|2 = |FP1| · |FP3|
-
7. 已知x > 0, y > 0, x, a, b, y 成等差数列, x, c, d, y 成等比数列, 则(a + b)2
cd
的最小值是
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
-
8. 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺寸(单位: cm), 可得这
个几何体的体积是
(
)
俯视图
正视图
侧视图
20
20
20
10
10
20
3
cm3
3
cm3 5分
A. 4000
B. 8000
C. 2000cm3
D. 4000cm3
-
9. 若
cos 2α
sin
(
α −π
4
) = −
√
2
2 , 则cos α + sin α 的值为
(
)
√
7
2
2
2
(D)
√
7
2 5分
A. −
B. −1
C. 1
-
10. 曲线y = e
1
2 x 在点(4, e2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
(
)
2e2 5分
A. 9
B. 4e2
C. 2e2
D. e2
-
11. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20 次, 三人的测试成绩如
下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1、s2、s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差, 则有(
) 5分
A. s3 > s1 > s2
B. s2 > s1 > s3
C. s1 > s2 > s3
D. s2 > s3 > s1
-
12. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱, 这个四棱锥的底
面为正方形, 且底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各
侧棱长也都相等.
设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1, h2, h, 则
h1 : h2 : h =
(
)
(A)
√
3 : 1 : 1
(B)
√
3 : 2 : 2
(C)
√
3 : 2 :
√
2
(D)
√
3 : 2 :
√
3 5分
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1. 如图, 测量河对岸的塔高AB 时, 可以选与塔底B 在同一水平面内的两个
测点C 与D. 现测得∠BCD = α, ∠BDC = β, CD = s, 并在点C 测得
塔顶A 的仰角为θ, 求塔高AB.
B
A
C
D
-
2. 如图, 在三棱锥S −ABC 中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,
∠BAC = 90◦, O 为BC 中点.
(1) 证明: SO ⊥平面ABC;
(2) 求二面角A −SC −B 的余弦值.
B
C
O
S
A
393
-
3. 在平面直角坐标系xOy 中, 经过点
(
0,
√
2
)
且斜率为k 的直线l 与椭圆
x2
2 + y2 = 1 有两个不同的交点P 和Q.
(1) 求k 的取值范围;
(2) 设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A、B, 是否存在常数
k, 使得向量# »
OP + # »
OQ 与# »
AB 共线? 如果存在, 求k 值; 如果不存在, 请说
明理由.
-
4. 如图, 面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M, 可按下面方
法估计M 的面积: 在正方形ABCD 中随机投掷n 个点, 若n 个点中有
m 个点落入M 中, 则M 的面积的估计值为m
n S. 假设正方形ABCD 的
边长为2, M 的面积为1, 并向正方形ABCD 中随机投掷10000 个点, 以
X 表示落入M 中的点的数目.
(1) 求X 的均值EX;
(2) 求用以上方法估计M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值之差在
区间(−0.03, 0.03) 内的概率.
附表: P(k) =
k∑
i=0
Ci
10000 × 0.25i × 0.7510000−i
k
2424
2425
2574
2575
P(k)
0.0403
0.0423
0.9570
0.9590
A
C
D
B
M
-
5. 设函数f(x) = ln(x + a) + x2.
(1) 若当x = −1 时, f(x) 取得极值, 求a 的值, 并讨论f(x) 的单调性;
(2) 若f(x) 存在极值, 求a 的取值范围, 并证明所有极值之和大于ln e
2.
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6. 如图, 已知AP 是⊙O 的切线, P 为切点, AC 是⊙O 的割线, 与⊙O 交于
(1) 证明A, P, O, M 四点共圆;
(2) 求∠OAM + ∠APM 的大小.
A
O
P
B
C
M
•
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7. ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为ρ = 4 cos θ, ρ = −4 sin θ.
(1) 把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2) 求经过⊙O1, ⊙O2 交点的直线的直角坐标方程.
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8. 设函数f(x) = |2x + 1| −|x −4|.
(1) 解不等式f(x) > 2;
(2) 求函数y = f(x) 的最小值.
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