本卷为官方高考数学真题（2007年江苏），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 下列函数中, 周期为π
2 的是
(
)
2
4 5分
A. y = sin x
B. y = sin 2x
C. y = cos x
D. y = cos 4x
-
2. 已知全集U = Z, A = {−1, 0, 1, 2}, B = {x | x2 = x}, 则A∩∁UB 为(
) 5分
A. {−1, 2}
B. {−1, 0}
C. {0, 1}
D. {1, 2}
-
3. 在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线的中心在坐标原点, 焦点在y 轴上, 一
条渐近线方程为x −2y = 0, 则它的离心率为
(
)
(A)
√
5
(B)
√
5
2
(C)
√
3 5分
D. 2
-
4. 已知两条直线m, n, 两个平面α, β, 给出下面四个命题:
①m
n, m ⊥α ⇒n ⊥α;
②α
β, m ⊂α, n ⊂β ⇒m
n;
③m
n, m
α ⇒n
α;
④α
β, m
n, m ⊥α ⇒n ⊥β.
其中正确命题的序号是
(
) 5分
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
-
5. 函数f(x) = sin x −
√
3 cos x (x ∈[−π, 0]) 的单调递增区间是
(
)
(A)
[
−π, −5π
6
]
(B)
[
−5π
6 , −π
6
]
(C)
[
−π
3 , 0
]
(D)
[
−π
6 , 0
] 5分
-
6. 设函数f(x) 定义在实数集上, 它的图象关于直线x = 1 对称, 且当x ⩾1
时, f(x) = 3x −1, 则有
(
)
(1
3
)
< f
(3
2
)
< f
(2
3
)
(2
3
)
< f
(3
2
)
< f
(1
3
)
(2
3
)
< f
(1
3
)
< f
(3
2
)
(3
2
)
< f
(2
3
)
< f
(1
3
) 5分
A. f
B. f
C. f
D. f
-
7. 若对于任意实数x, 有x3 = a0 + a1(x −2) + a2(x −2)2 + a3(x −2)3, 则a2
的值为
(
) 5分
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
-
8. 设f(x) = lg
(
2
1 −x + a
)
是奇函数, 则使f(x) < 0 的x 的取值范围
是
(
) 5分
A. (−1, 0)
B. (0, 1)
C. (−∞, 0)
D. (−∞, 0) ∪(1, +∞)
-
9. 已知二次函数f(x) = ax2 + bx + c 的导数为f ′(x), f ′(0) > 0, 对于任意实
数x 都有f(x) ⩾0, 则f(1)
(
)
2
2 5分
F. ′(0) 的最小值为
A. 3
B. 5
C. 2
D. 3
-
10. 在平面直角坐标系xOy, 已知平面区域A = {(x, y)|x + y ⩽1, 且x ⩾
0, y ⩾0}, 则平面区域B = {(x + y, x −y) | (x, y) ∈A} 的面积为
(
)
2
4 5分
A. 2
B. 1
C. 1
D. 1
-
1. 若cos(α + β) = 1
5, cos(α −β) = 3
5, 则tan α tan β =
. 5分
-
2. 某校开设9 门课程供学生选修, 其中A, B, C 三门由于上课时间相同, 学
校规定, 每位同学选修4 门, 共有
种不同的选修方案. (用数值作答) 5分
-
3. 已知函数f(x) = x3 −12x + 8 在区间[−3, 3] 上的最大值与最小值分别为
M, m, 则M −m =
. 5分
-
4. 正三棱锥P −ABC 高为2, 侧棱与底面ABC 成45◦, 则点A 到侧面PBC
的距离为
. 5分
-
5. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知△ABC 顶点A(−4, 0) 和C(4, 0), 顶点
25 + y2
9 = 1 上, 则sin A + sin C
sin B
=
. 5分
B. 在椭圆x2
-
6. 某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm, 秒针均匀地绕点O 旋
转, 当时间t = 0 时, 点A 与钟面上标12 的点B 重合, 将A, B 两点的距
离d (cm) 表示成t(s) 的函数, 则d =
. 5分
-
1. 某气象站天气预报的准确率为80%, 计算(结果保留到小数点后面第2 位)
(1) 5 次预报中恰有2 次准确的概率;
(2) 5 次预报中至少有2 次准确的概率;
(3) 5 次预报中恰有2 次准确, 且其中第3 次预报准确的概率.
-
2. 如图, 已知ABCD −A1B1C1D1 是棱长为3 的正方体, 点E 在AA1 上,
点F 在CC1 上, 且AE = FC1 = 1.
(1) 求证: E, B, F, D1 四点共面;
(2) 若点G 在BC 上, BG = 2
3, 点M 在BB1 上, GM ⊥BF, 垂足为H,
求证: EM ⊥面BCC1B1;
(3) 用θ 表示截面EBFD1 和面BCC1B1 所成锐二面角大小, 求tan θ
A
B
C
G
H
D
A1
B1
F
E
M
C1
D1
383
-
3. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 过y 轴正方向上一点C(0, c) 任作一直
线, 与抛物线y = x2 相交于A, B 两点, 一条垂直于x 轴的直线, 分别与
线段AB 和直线l: y = −c 交于P, Q.
(1) 若# »
OA · # »
OB = 2, 求c 的值;
(2) 若P 为线段AB 的中点, 求证: QA 为此抛物线的切线;
(3) 试问(2) 的逆命题是否成立? 说明理由.
P
x
l
y
C
Q
O
A
B
-
4. 已知{an} 是等差数列, {bn} 是公比为q 的等比数列, a1 = b1, a2 = b2̸ = a1,
记Sn 为数列{bn} 的前n 项和.
(1) 若bk = am (m, k 是大于2 正整数), 求证: Sk−1 = (m −1)a1;
(2) 若b3 = ai (i 是某一正整数), 求证: q 是整数, 且数列{bn} 中每一项都
是数列{an} 中的项;
(3) 是否存在这样的正数q, 使等比数列{bn} 中有三项成等差数列? 若存
在, 写出一个q 的值, 并加以说明; 若不存在, 请说明理由.
-
5. 已知a, b, c, d 是不全为零的实数, 函数f(x) = bx2 + cx + d, g(x) =
ax3 + bx2 + cx + d. 方程f(x) = 0 有实数根, 且f(x) = 0 的实数根都是
g(f(x)) = 0 的根; 反之, g(f(x)) = 0 的实数根都是f(x) = 0 的根.
(1) 求d 的值;
(2) 若a = 0, 求c 的取值范围;
(3) 若a = 1, f(1) = 0, 求c 的取值范围.
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