2007年江西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年江西（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若集合M = {0, 1}, I = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, 则∁IM 为 ( ) 5分
   A. {0, 1} B. {2, 3, 4, 5} C. {0, 2, 3, 4, 5}(D) {1, 2, 3, 4, 5}
2. 2. 函数y = 5 tan(2x + 1) 的最小正周期为 ( ) 4 2 5分
   A. π B. π C. π D. 2π
3. 3. 函数f(x) = lg 1 −x x −4 的定义域为 ( ) 5分
   A. (1, 4) B. [1, 4) C. (−∞, 1) ∪(4, +∞) D. (−∞, 1] ∪(4, +∞)
4. 4. 若tan α = 3, tan β = 4 3, 则tan(α −β) 等于 ( ) 3 3 5分
   A. −3 B. −1 C. 3 D. 1
5. 5. 设(x2 + 1)(2x + 1)9 = a0 + a1(x + 2) + a2(x + 2)2 + · · · + a11(x + 2)11, 则 a0 + a1 + a2 + · · · + a11 的值为 ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
6. 6. 一袋中装有大小相同, 编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 的八个球, 从中有 放回地每次取一个球, 共取2 次, 则取得两个球的编号和不小于15 的概率 为 ( ) 32 64 32 64 5分
   A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
7. 7. 连接抛物线x2 = 4y 的焦点F 与点M(1, 0) 所得的线段与抛物线交于点 A, 设点O 为坐标原点, 则三角形OAM 的面积为 ( ) √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 + √ 2 5分
   A. −1 + B. 3 C. 1 + D. 3
8. 8. 若0 < x < π 2 , 则下列命题正确的是 ( ) πx πx πx πx 5分
   A. sin x < 2 B. sin x > 2 C. sin x < 3 D. sin x > 3
9. 9. 四面体ABCD 外接球球心在CD 上, 且CD = 2, AB = √ 3, 在外接球面 上两点A、B 间的球面距离是 ( ) 6 3 3 6 5分
   A. π B. π C. 2π D. 5π
10. 10. 设p: f(x) = x3 + 2x2 + mx + 1 在(−∞, +∞) 内单调递增, q: m ⩾4 3, 则 p 是q 的 ( ) 5分
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 11. 四位好朋友在一次聚会上, 他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高 度相等、杯口半径相等的圆口酒杯, 如图所示, 盛满酒后他们约定: 先各自 饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为h1, h2, h3, h4, 则它们 的大小关系正确的是 ( ) 5分
    A. h2 > h1 > h4 (B) h1 > h2 > h3 (C) h3 > h2 > h4 (D) h2 > h4 > h1
12. 12. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为e = 1 2, 右焦点为F(c, 0), 方 程ax2 + bx −c = 0 的两个实根分别为x1 和x2, 则点P(x1, x2) ( ) 5分
    A. 必在圆x2 + y2 = 2 上 B. 必在圆x2 + y2 = 2 外 C. 必在圆x2 + y2 = 2 内 D. 以上三种情形都有可能

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 在平面直角坐标系中, 正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为 O(0, 0), B(1, 1), 则# » AB · # » AC = . 5分
2. 2. 已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若S12 = 21, 则a2 + a5 + a8 + a11 = . 5分
3. 3. 已知函数y = f(x) 存在反函数y = f −1(x), 若函数y = f(1 + x) 的图象 经过点(3, 1), 则函数y = f −1(x) 的图象必经过点 . 5分
4. 4. 如图, 正方体AC1 的棱长为1, 过点A 作平面A1BD 的垂线, 垂足为点 √ 2; 4. 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号) B1 C1 D1 A1 B H C D A • 5分
   H. 有下列四个命题: A. 点H 是△A1BD 的垂心; B. AH 垂直平面CB1D1; C. 二面角C −B1D1 −C1 的正切值为 D. 点H 到平面A1B1C1D1 的距离为3

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = { cx + 1, 0 < x < c, 2−x c2 + 1, 在区间(0, 1) 内连续, 且 f(c2) = 9 8. (1) 求常数c 的值; (2) 解不等式f(x) > √ 2 8 + 1.
2. 2. 如图, 函数y = 2 cos(ωx + θ) ( x ∈R, 0 ⩽θ ⩽π 2 ) 的图象与y 轴交于点 (0, √ 3), 且在该点处切线的斜率为−2. (1) 求θ 和ω 的值; (2) 已知点A (π 2 , 0 ) , 点P 是该函数图象上的一点, 点Q(x0, y0) 是PA 的 中点, 当y0 = √ 3 2 , x0 ∈ [π 2 , π ] 时, 求x0 的值. x y O P Q A √ 3 • 387
3. 3. 栽培甲、乙两种果树, 先要培育成苗, 然后再进行移栽. 已知甲、乙两种果 树成苗的概率分别为0.6, 0.5, 移栽后成活的概率分别为0.7, 0.9. (1) 求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率; (2) 求恰好一种果树能栽培成苗且移栽成活的概率.
4. 4. 如图是一个直三棱柱(以A1B1C1 为底面) 被一平面所截得到的几何体, 截 面为ABC. 已知A1B1 = B1C1 = 1, ∠A1B1C1 = 90◦, AA1 = 4, BB1 = 2, CC1 = 3. (1) 设点O 是AB 的中点, 证明: OC 平面A1B1C1; (2) 求AB 与平面AA1C1C 所成的角的大小; (3) 求此几何体的体积. A O C B A1 B1 C1
5. 5. 设{an} 为等比数列, a1 = 1, a2 = 3. (1) 求最小的自然数n, 使an ⩾2007; (2) 求和: T2n = 1 a1 −2 a2 + 3 a3 −· · · −2n a2n .
6. 6. 设动点P 到两定点F1(−1, 0) 和F2(1, 0) 的距离分别为d1 和d2, ∠F1PF2 = 2θ, 且存在常数λ (0 < λ < 1), 使得d1d2 sin2 θ = λ. (1) 证明: 动点P 的轨迹C 为双曲线, 并求出C 的方程; (2) 如图, 过点F2 的直线与双曲线C 的右支交于A、B 两点. 问: 是否存 在λ, 使△F1AB 是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形? 若存在, 求出 λ 的值; 若不存在, 说明理由. x y O F1 F2 A B P • 388

原卷配图（含真实几何/应用题图示）