2007年江西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年江西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 化简2 + 4i (1 + i)2 的结果是 ( ) 5分
   A. 2 + i B. −2 + i C. 2 −i D. −2 −i
2. 2. lim x→1 x3 −x2 x −1 ( ) 5分
   A. 等于0 B. 等于1 C. 等于3 D. 不存在
3. 3. 若tan (π 4 −α ) = 3, 则cot α 等于 ( ) 2 2 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
4. 4. 已知 (√x + 3 3√x )n 展开式中, 各项系数的和与其各项二项式系数的和之 比为64, 则n 等于 ( ) 5分
   A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 5. 若0 < x < π 2 , 则下列命题中正确的是 ( ) πx πx π2 x2 (D) sin x > 4 π2 x2 5分
   A. sin x < 3 B. sin x > 3 C. sin x < 4
6. 6. 若集合M = {0, 1, 2}, N = {(x, y)|x−2y+1 ⩾0 且x−2y−1 ⩽0, x, y ∈ M}, 则N 中元素的个数为 ( ) 5分
   A. 9 B. 6 C. 4 D. 2
7. 7. 如图, 正方体AC1 的棱长为1, 过点A 作平面A1BD 的垂线, 垂足为点 ( ) B1 C1 D1 A1 B H C D A • 5分
   H. 则以下命题中, 错误的是 A. 点H 是△A1BD 的垂心 B. AH 垂直平面CB1D1 C. AH 的延长线经过点C1 D. 直线AH 和BB1 所成的角为45◦
8. 8. 四位好朋友在一次聚会上, 他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高 度相等、杯口半径相等的圆口酒杯, 如图所示, 盛满酒后他们约定: 先各自 饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为h1, h2, h3, h4, 则它们 的大小关系正确的是 ( ) 5分
   A. h2 > h1 > h4 (B) h1 > h2 > h3 (C) h3 > h2 > h4 (D) h2 > h4 > h1
9. 9. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为e = 1 2, 右焦点为F(c, 0), 方 程ax2 + bx −c = 0 的两个实根分别为x1 和x2, 则点P(x1, x2) ( ) 5分
   A. 必在圆x2 + y2 = 2 内 B. 必在圆x2 + y2 = 2 上 C. 必在圆x2 + y2 = 2 外 D. 以上三种情形都有可能
10. 10. 将一个骰子连续抛掷三次, 它落地时向上的点数依次成等差数列的概率 为 ( ) 9 12 15 18 5分
    A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
11. 11. 设函数f(x) 是R 上以5 为周期的可导偶函数, 则曲线y = f(x) 在x = 5 处的切线的斜率为 ( ) 5 5 5分
    A. −1 B. 0 C. 1 D. 5
12. 12. 设p: f(x) = ex + ln x + 2x2 + mx + 1 在(0, +∞) 内单调递增, q: m ⩾−5, 则p 是q 的 ( ) 5分
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设函数y = 4 + log2(x −1) (x ⩾3), 则其反函数的定义域为 . 5分
2. 2. 已知数列{an} 对于任意p, q ∈N∗, 有ap + aq = ap+q, 若a1 = 1 9, 则 a36 = . 5分
3. 3. 如图, 在△ABC 中, 点O 是BC 的中点, 过点O 的直线分别交直线AB、 AC 于不同的两点M、N, 若# » AB = m# » AM, # » AC = n# » AN, 则m + n 的值 为 . A O B C M N 5分
4. 4. 设有一组圆C1: (x −k + 1)2 + (y −3k)2 = 2k4 (k ∈N∗). 下面四个命题: 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号) 5分
   A. 存在一条定直线与所有的圆均相切; B. 存在一条定直线与所有的圆均相交; C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交; D. 所有的圆均不经过原点.

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = { cx + 1, 0 < x < c, 2−x c2 + k, 在区间(0, 1) 内连续, 且 f(c2) = 9 8. (1) 求实数k 和c 的值; (2) 解不等式f(x) > √ 2 8 + 1.
2. 2. 如图, 函数y = 2 cos(ωx + θ) ( x ∈R, 0 ⩽θ ⩽π 2 ) 的图象与y 轴交于点 (0, √ 3), 且在该点处切线的斜率为−2. (1) 求θ 和ω 的值; (2) 已知点A (π 2 , 0 ) , 点P 是该函数图象上的一点, 点Q(x0, y0) 是PA 的 中点, 当y0 = √ 3 2 , x0 ∈ [π 2 , π ] 时, 求x0 的值. x y O P Q A √ 3 • 385
3. 3. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品, 制作过程中必须先后经 过两次烧制, 当第一次烧制合格后可进入第二次烧制, 两次烧制过程相互 独立. 根据该厂现有的技术水平, 经过第一次烧制后, 甲、乙、丙三件产品 合格的概率依次为0.5, 0.6, 0.4. 经过第二次烧制后, 甲、乙、丙三件产品 合格的概率依次为0.6, 0.5, 0.75. (1) 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2) 经过前后两次烧制后, 合格工艺品的个数为ξ, 求随机变量ξ 的期望.
4. 4. 如图是一个直三棱柱(以A1B1C1 为底面) 被一平面所截得到的几何体, 截 面为ABC. 已知A1B1 = B1C1 = 1, ∠A1B1C1 = 90◦, AA1 = 4, BB1 = 2, CC1 = 3. (1) 设点O 是AB 的中点, 证明: OC 平面A1B1C1; (2) 求二面角B −AC −A1 的大小; (3) 求此几何体的体积. A O C B A1 B1 C1
5. 5. 设动点P 到点A(−1, 0) 和B(1, 0) 的距离分别为d1 和d2, ∠APB = 2θ. 且存在常数λ (0 < λ < 1), 使得d1d2 sin2 θ = λ. (1) 证明: 动点P 的轨迹C 为双曲线, 并求出C 的方程; (2) 过点B 作直线交双曲线C 的右支于M、N 两点, 试确定λ 的范围, 使 # » OM · # » ON = 0, 其中点O 为坐标原点. x y O A B d1 d2 P 2θ
6. 6. 设正整数数列{an} 满足: a2 = 4, 且对于任何n ∈N∗, 有2 + 1 an+1 < 1 an + 1 an+1 1 n − 1 n + 1 < 2 + 1 an . (1) 求a1, a3; (2) 求数列{an} 的通项an. 386

原卷配图（含真实几何/应用题图示）