2007年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年浙江（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. “x > 1” 是“x2 > x” 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 2. 若函数f(x) = 2 sin(ωx + φ), x ∈R (其中ω > 0, |φ| < π 2 ) 的最小正周期 是π, 且f(0) = √ 3, 则 ( ) 2, φ = π 6 2, φ = π 3 6 3 5分
   A. ω = 1 B. ω = 1 C. ω = 2, φ = π D. ω = 2, φ = π
3. 3. 直线x −2y + 1 = 0 关于直线x = 1 对称的直线方程是 ( ) 5分
   A. x + 2y −1 = 0 B. 2x + y −1 = 0 C. 2x + y −3 = 0 D. x + 2y −3 = 0
4. 4. 要在边长为16 米的正方形草坪上安装喷水龙头, 使整个草坪都能喷洒到 水. 假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6 米的圆面, 则需安装这种 喷水龙头的个数最少是 ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 5. 已知随机变量ξ 服从正态分布N(2, σ2), P(ξ ⩽4) = 0.84, 则P(ξ ⩽ 0) = ( ) 5分
   A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84
6. 6. 若P 是两条异面直线l, m 外的任意一点, 则 ( ) 5分
   A. 过点P 有且仅有一条直线与l, m 都平行 B. 过点P 有且仅有一条直线与l, m 都垂直 C. 过点P 有且仅有一条直线与l, m 都相交 D. 过点P 有且仅有一条直线与l, m 都异面
7. 7. 若非零向量a, b 满足|a + b| = |b|, 则 ( ) 5分
   A. |2a| > |2a + b| B. |2a| < |2a + b| C. |2b| > |a + 2b| D. |2b| < |a + 2b|
8. 8. 设f ′(x) 是函数f(x) 的导函数, 将y = f(x) 和y = f ′(x) 的图象画在同一 个直角坐标系中, 不可能正确的是 ( ) (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分
9. 9. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左, 右焦点分别为F1, F2, P 是 准线上一点, 且PF1 ⊥PF2, |PF1| · |PF2| = 4ab, 则双曲线的离心率是( ) (A) √ 2 (B) √ 3 5分
   C. 2 D. 3
10. 10. 设f(x) = { x2, |x| ⩾1, x, |x| < 1, 若f(g(x)) 的值域是[0, +∞), 则函数g(x) 的值 域是 ( ) 5分
    A. (−∞, −1] ∪[1, +∞) B. (−∞, −1] ∪[0, +∞) C. [0, +∞) D. [1, +∞)

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 已知复数z1 = 1 −i, z1 · z2 = 1 + i, 则复数z2 = . 5分
2. 2. 已知sin θ + cos θ = 1 5, 且π 2 ⩽θ ⩽3π 4 , 则cos 2θ 的值是 . 5分
3. 3. 不等式|2x −1| −x < 1 的解集是 . 5分
4. 4. 某书店有11 种杂志, 2 元1 本的8 种, 1 元1 本的3 种. 小张用10 元钱 买杂志(每种至多买一本, 10 元钱刚好用完), 则不同买法的种数是 . (用数字作答) 5分
5. 5. 随机变量ξ 的分布列如下: ξ −1 0 1 P a b c 其中a, b, c 成等差数列. 若Eξ = 1 3. 则Dξ 的值是 . 5分
6. 6. 已知点O 在二面角α−AB−β 的棱上, 点P 在α 内, 且∠POB = 45◦. 若 对于β 内异于O 的任意一点Q, 都有∠POQ ⩾45◦, 则二面角α−AB −β 的大小是 . 5分
7. 7. 设m 为实数, 若        (x, y)         x −2y + 5 ⩾0, 3 −x ⩾0, mx + y ⩾0.        ⊆{(x, y) | x2 + y2 ⩽25}, 则m 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知△ABC 的周长为 √ 2 + 1, 且sin A + sin B = √ 2 sin C. (1) 求边AB 的长; (2) 若△ABC 的面积为1 6 sin C, 求角C 的度数.
2. 2. 在如图所示的几何体中, EA ⊥平面ABC, DB ⊥平面ABC, AC ⊥BC, 且AC = BC = BD = 2AE, M 是AB 的中点. (1) 求证: CM ⊥EM; (2) 求CM 与平面CDE 所成的角. A M E B C D 417
3. 3. 如图, 直线y = kx + b 与椭圆x2 4 + y2 = 1 交于A, B 两点, 记△AOB 的 面积为S. (1) 求在k = 0, 0 < b < 1 的条件下, S 的最大值; (2) 当|AB| = 2, S = 1 时, 求直线AB 的方程. x y O A B
4. 4. 已知数列{an} 中的相邻两项a2k−1, a2k 是关于x 的方程x2 −(3k+2k)x+ 3k · 2k = 0 的两个根, 且a2k−1 ⩽a2k (k = 1, 2, 3, · · · ). (1) 求a1, a3, a5, a7; (2) 求数列{an} 的前2n 项和S2n; (3) 记f(n) = 1 2 (|sin n| sin n + 3 ) , Tn = (−1)f(2) a1a2 + (−1)f(3) a3a4 + (−1)f(4) a5a6 + · · · + (−1)f(n+1) a2n−1a2n , 求证: 1 6 ⩽Tn ⩽5 24 (n ∈N∗).
5. 5. 设f(x) = x3 3 , 对任意实数t, 记gt(x) = t 2 3 x −2 3t. (1) 求函数y = f(x) −g8(x) 的单调区间; (2) 求证: ①当x > 0 时, f(x) ⩾gt(x) 对任意实数t 成立; ②有且仅有一个正实数x0, 使得g8(x0) ⩾gt(x0) 对任意实数t 成立. 418

原卷配图（含真实几何/应用题图示）