本卷为官方高考数学真题（2007年湖北（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. tan 690◦的值为
(
)
√
3
3
(B)
√
3
3
(C)
√
3
√
3 5分
A. −
D. −
-
2. 如果U = {x | x 是小于9 的正整数}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6},
那么∁UA ∩∁UB =
(
) 5分
A. {1, 2}
B. {3, 4}
C. {5, 6}
D. {7, 8}
-
3. 如果
(
3x2 −2
x3
)n
的展开式中含有非零常数项, 则正整数n 的最小值
为
(
) 5分
A. 10
B. 6
C. 5
D. 3
-
4. 函数y = 2x + 1
2x −1 (x < 0) 的反函数是
(
)
x + 1
x −1 (x < −1)
x + 1
x −1 (x > 1)
x −1
x + 1 (x < −1)
x −1
x + 1 (x > 1) 5分
A. y = log2
B. y = log2
C. y = log2
D. y = log2
-
5. 在棱长为1 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E、F 分别为棱AA1、BB1
的中点, G 为棱A1B1 上的一点, 且A1G = λ (0 ⩽λ ⩽1), 则点G 到平面
D1EF 的距离为
(
)
A
B
C
D
A1
E
G
F
B1
C1
D1
•
(A)
√
3
(B)
√
2
2
(C)
√
2λ
3
(D)
√
5
5 5分
-
6. 为了了解某学校学生的身体发育情况, 抽查了该校100 名高中男生的体重
情况, 根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示. 根据此图, 估计
该校2000 名高中男生中体重大于70.5 公斤的人数为
(
)
频率
组距
0
体重(kg)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 5分
A. 300
B. 360
C. 420
D. 450
-
7. 将5 本不同的书全发给4 名同学, 每名同学至少有一本书的概率是
(
)
64
128
125
125 5分
A. 15
B. 15
C. 24
D. 48
-
8. 由直线y = x + 1 上的一点向圆(x −3)2 + y2 = 1 引切线, 则切线长的最
小值为
(
)
√
2
(C)
√
7 5分
A. 1
B. 2
D. 3
-
9. 设a = (4, 3), a 在b 上的投影为5
√
2
2 , b 在x 轴上的投影为2, 且|b| ⩽14,
则b 为
(
)
(B)
(
2, −2
7
)
(C)
(
−2, 2
7
) 5分
A. (2, 14)
D. (2, 8)
-
10. 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件, q 是r 的充分条件, s 是r 的必
要条件, q 是s 的必要条件, 现有下列命题:
①s 是q 的充要条件;
②p 是q 的充分条件而不是必要条件;
③r 是q 的必要条件而不是充分条件;
④¬p 是¬s 的必要条件而不是充分条件;
⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件.
则正确命题的序号是
(
) 5分
A. ①④⑤
B. ①②④
C. ②③⑤
D. ②④⑤
-
1. 设变量x, y 满足约束条件
x −y + 3 ⩾0,
x + y ⩾0,
−2 ⩽x ⩽3,
则目标函数2x + y 的最小值
为
. 5分
-
2. 过双曲线x2
4 −y2
3 = 1 左焦点F1 的直线交双曲线的左支于M、N 两点,
F2 为其右焦点, 则|MF2| + |NF2| −|MN| 的值为
. 5分
-
3. 已知函数y = f(x) 的图象在点M(1, f(1)) 处的切线方程是y = 1
2x + 2,
则f(1) + f ′(1) =
. 5分
-
4. 某男运动员在三分线投球的命中率是1
2, 他投球10 次, 恰好投进3 个球的
概率
. (用数值作答) 5分
-
5. 为了预防流感, 某学校对教室用药薰消毒法进行消毒. 已知药物释放过程
中, 室内每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间t (小时) 成正比; 药物
释放完毕后, y 与t 的函数关系式为y =
( 1
16
)t−a
据图中提供的信息, 回答下列问题:
(1) 从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间t (小时)
之间的函数关系式为
;
(2) 据测定, 当空气中每立方米的含药量降低到0.25 毫克以下时, 学生方可
进教室, 那么药物释放开始, 至少需要经过
小时后, 学生才能回到教
室.
t (小时)
0.1
1
y (毫克)
O 5分
A. 为常数), 如图所示.
-
1. 已知函数f(x) = 2 sin2 (π
4 + x
)
−
√
3 cos 2x, x ∈
[π
4 , π
2
]
.
(1) 求f(x) 的最大值和最小值;
(2) 若不等式|f(x) −m| < 2 在x ∈
[π
4 , π
2
]
上恒成立, 求实数m 的取值
范围.
-
2. 如图, 在三棱锥V −ABC 中, V C ⊥底面ABC, AC ⊥BC, D 是AB 的
中点, 且AC = BC = a, ∠V DC = θ
(
0 < θ < π
2
)
.
(1) 求证: 平面V AB ⊥平面V CD;
(2) 试确定角θ 的值, 使得直线BC 与平面V AB 所成的角的为π
6 .
C
B
V
A
D
377
-
3. 某商品每件成本9 元, 售价30 元, 每星期卖出432 件. 如果降低价格, 销
售量可以增加, 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位:
元, 0 ⩽x ⩽30) 的平方成正比. 已知商品单价降低2 元时, 一星期多卖出
24 件.
(1) 将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数;
(2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
-
4. 设二次函数f(x) = x2 + ax + a, 方程f(x) −x = 0 的两根x1 和x2 满足
0 < x1 < x2 < 1.
(1) 求实数a 的取值范围;
(2) 试比较f(0)f(1) −f(0) 与1
16 的大小, 并说明理由.
-
5. 已知数列{an} 和{bn} 满足: a1 = 1, a2 = 2, an > 0, bn = √anan+1 (n ∈
N∗), 且{bn} 是以q 为公比的等比数列.
(1) 证明: an+2 = anq2;
(2) 若cn = a2n−1 + 2a2n, 证明数列{cn} 是等比数列;
(3) 求和: 1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+ 1
a4
+ · · · +
1
a2n−1
+ 1
a2n
.
-
6. 在平面直角坐标系xOy 中, 过定点C(0, p) 作直线与抛物线x2 = 2py (p >
0) 相交于A, B 两点.
(1) 若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点, 求△ANB 面积的最小值;
(2) 是否存在垂直于y 轴的直线l, 使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长
恒为定值? 若存在, 求出l 的方程; 若不存在, 说明理由.
x
y
O
A
B
C
N
378
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