2007年湖北（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年湖北（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 如果 ( 3x2 −2 x3 )n 的展开式中含有非零常数项, 则正整数n 的最小值 为 ( ) 5分
   A. 3 B. 5 C. 6 D. 10
2. 2. 将y = 2 cos (x 3 + π 6 ) 的图象按向量a = ( −π 4 , −2 ) 平移, 则平移后所得 图象的解析式为 ( ) (x 3 + π 4 ) −2 (x 3 −π 4 ) + 2 (x 3 −π 12 ) −2 (x 3 + π 12 ) + 2 5分
   A. y = 2 cos B. y = 2 cos C. y = 2 cos D. y = 2 cos
3. 3. 设P 和Q 是两个集合, 定义集合P −Q = {x | x ∈P, 且x /∈Q}, 如果 P = {x | log2 x < 1}, Q = {x | |x −2| < 1}, 那么P −Q 等于 ( ) 5分
   A. {x | 0 < x < 1} B. {x | 0 < x ⩽1} C. {x | 1 ⩽x < 2} D. {x | 2 ⩽x < 3}
4. 4. 平面α 外有两条直线m 和n, 如果m 和n 在平面α 内的射影分别是m′ 和n′, 给出下列四个命题: ①m′ ⊥n′ ⇒m ⊥n; ②m ⊥n ⇒m′ ⊥n′; ③m′ 与n′ 相交⇒m 与n 相交或重合; ④m′ 与n′ 平行⇒m 与n 平行或重合. 其中不正确的命题个数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 5. 已知p 和q 是两个不相等的正整数, 且q ⩾2, 则lim n→∞ ( 1 + 1 n )p −1 ( 1 + 1 n )q −1 = ( ) q q −1 5分
   A. 0 B. 1 C. p D. p −1
6. 6. 若数列{an} 满足a2 n+1 a2 n = p (p 为正常数, n ∈N∗), 则称{an} 为“等方比 数列”. 甲: 数列{an} 是等方比数列; 乙: 数列{an} 是等比数列, 则 ( ) 5分
   A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7. 7. 双曲线C1: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左准线为l, 左焦点和右焦点分 别为F1 和F2; 抛物线C2 的准线为l, 焦点为F2; C1 与C2 的一个交点为 M, 则|F1F2| |MF1| −|MF1| |MF2| 等于 ( ) 2 2 5分
   A. −1 B. 1 C. −1 D. 1
8. 8. 已知两个等差数列{an} 和{bn} 的前n 项分别为An 和Bn, 且An Bn = 7n + 45 n + 3 , 则使得an bn 为整数的正整数n 的个数是 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 9. 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n, 记向量a = (m, n) 与向量 ( 0, π 2 ] 的概率是 ( ) 12 2 12 6 5分
   B. = (1, −1) 的夹角为θ, 则θ ∈ A. 5 B. 1 C. 7 D. 5
10. 10. 已知直线x 公共点的横坐标均为整数, 那么这样的直线共有 ( ) 5分
    A. + y B. = 1 (a, b 是非零常数) 与圆x2 + y2 = 100 有公共点, 且 A. 60 条 B. 66 条 C. 72 条 D. 78 条

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知函数y = 2x −a 的反函数是y = bx + 3, 则a = ; b = . 5分
2. 2. 复数z = a + bi, a, b ∈R, 且b̸ = 0, 若z2 −4bz 是实数, 则有序实数对 (a, b) 可以是 . (写出一个有序实数对即可) 5分
3. 3. 设变量x, y 满足约束条件        x −y + 3 ⩾0, x + y ⩾0, −2 ⩽x ⩽3, 则目标函数2x + y 的最小值 为 . 5分
4. 4. 某男运动员在三分线投球的命中率是1 2, 他投球10 次, 恰好投进3 个球的 概率 . (用数值作答) 5分
5. 5. 为了预防流感, 某学校对教室用药薰消毒法进行消毒. 已知药物释放过程 中, 室内每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间t (小时) 成正比; 药物 释放完毕后, y 与t 的函数关系式为y = ( 1 16 )t−a 据图中提供的信息, 回答下列问题: (1) 从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间t (小时) 之间的函数关系式为 ; (2) 据测定, 当空气中每立方米的含药量降低到0.25 毫克以下时, 学生方可 进教室, 那么药物释放开始, 至少需要经过 小时后, 学生才能回到教 室. t (小时) 0.1 1 y (毫克) O 5分
   A. 为常数), 如图所示.

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知△ABC 的面积为3, 且满足0 ⩽# » AB · # » AC ⩽6, 设# » AB 和# » AC 的夹角 为θ. (1) 求θ 的取值范围; (2) 求函数f(θ) = 2 sin2 (π 4 + θ ) − √ 3 cos 2θ 的最大值与最小值.
2. 2. 在生产过程中, 测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量) 共有100 个 数据, 将数据分组如下表: 频率 组距 0 纤度 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 分组 频数 频率 [1.30, 1.34) 4 [1.34, 1.38) 25 [1.38, 1.42) 30 [1.42, 1.46) 29 [1.46, 1.50) 10 [1.50, 1.54) 2 合计 100 (1) 补全频率分布表, 并画出频率分布直方图; (2) 估计纤度落在[1.38, 1.50) 中的概率及纤度小于1.40 的概率是多少? (3) 统计方法中, 同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[1.30, 1.34) 的中点值是1.32) 作为代表. 据此, 估计纤度的期望. 375
3. 3. 如图, 在三棱锥V −ABC 中, V C ⊥底面ABC, AC ⊥BC, D 是AB 的 中点, 且AC = BC = a, ∠V DC = θ ( 0 < θ < π 2 ) . (1) 求证: 平面V AB ⊥平面V CD; (2) 当角θ 变化时, 求直线BC 与平面V AB 所成的角的取值范围. C B V A D
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 过定点C(0, p) 作直线与抛物线x2 = 2py (p > 0) 相交于A, B 两点. (1) 若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点, 求△ANB 面积的最小值; (2) 是否存在垂直于y 轴的直线l, 使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长 恒为定值? 若存在, 求出l 的方程; 若不存在, 说明理由. x y O A B C N
5. 5. 已知定义在正实数集上的函数f(x) = 1 2x2 + 2ax, g(x) = 3a2 ln x + b, 其 中a > 0. 设两曲线y = f(x), y = g(x) 有公共点, 且在该点处的切线相同. (1) 用a 表示b, 并求b 的最大值; (2) 求证: f(x) ⩾g(x) (x > 0).
6. 6. 已知m, n 为正整数. (1) 用数学归纳法证明: 当x > −1 时, (1 + x)m ⩾1 + mx; (2) 对于n ⩾6, 已知 ( 1 − 1 n + 3 )n < 1 2, 求证 ( 1 − m n + 3 )m < 1 2, m = 1, 2, · · · , n; (3) 求满足等式3n + 4n + · · · + (n + 2)n = (n + 3)n 的所有正整数n. 376

原卷配图（含真实几何/应用题图示）