2007年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年湖南（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 不等式x2 > x 的解集是 ( ) 5分
   A. (−∞, 0) B. (0, 1) C. (1, +∞) D. (−∞, 0) ∪(1, +∞)
2. 2. 若O, E, F 是不共线的任意三点, 则以下各式中成立的是 ( ) EF = # » OF + # » OE EF = # » OF −# » OE EF = −# » OF + # » OE EF = −# » OF −# » OE 5分
   A. # » B. # » C. # » D. # »
3. 3. 设p: b2 −4ac > 0 (a̸ = 0), q: 关于x 的方程ax2 + bx + c = 0 (a̸ = 0) 有 实根, 则p 是q 的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 在等比数列{an} (n ∈N∗) 中, 若a1 = 1, a4 = 1 8, 则该数列的前10 项和 为 ( ) 28 29 210 211 5分
   A. 2 −1 B. 2 −1 C. 2 −1 D. 2 −1
5. 5. 在(1 + x)n (n ∈N∗) 的二项展开式中, 若只有x5 的系数最大, 则n =( ) 5分
   A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6. 6. 如图, 在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, E、F 分别是AB1、BC1 的中 点, 则以下结论中不成立的是 ( ) A B C D F E A1 B1 C1 D1 5分
   A. EF 与BB1 垂直 B. EF 与BD 垂直 C. EF 与CD 异面 D. EF 与A1C1 异面
7. 7. 根据某水文观测点的历史统计数据, 得到某条河流水位的频率分布直方图 (如图), 从图中可以看出, 该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水 的最低水位是 ( ) 频率 组距 0 水位(米) 0.5% 1% 2% 48495051 30313233 5分
   A. 48 米 B. 49 米 C. 50 米 D. 51 米
8. 8. 函数f(x) = { 4x −4, x ⩽1, x2 −4x + 3, x > 1, 的图象和函数g(x) = log2 x 的图象的 交点个数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 9. 设F1、F2 分别是椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 1) 的左、右焦点, P 是其右 准线上纵坐标为 √ 3c (c 为半焦距) 的点, 且|F1F2| = |F2P|, 则椭圆的离心 率是 ( ) (A) √ 3 −1 2 2 (C) √ 5 −1 2 (D) √ 2 2 5分
   B. 1
10. 10. 设集合M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, S1、S2、· · · 、Sk 都是M 的含两个元 素的子集, 且满足: 对任意的Si = {ai, bi}, Sj = {aj, bj} (i̸ = j, i、 j ∈{1, 2, 3, · · · , k}), 都有min {ai bi , bi ai }̸ = min {aj bj , bj aj } (min{x, y} 表示两个数x、y 中的较小者). 则k 的最大值是 ( ) 5分
    A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 圆心为(1, 1) 且与直线x + y = 4 相切的圆的方程是 . 5分
2. 2. 在△ABC 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 若a = 1, c = √ 3, 3 , 则A = . 5分
   C. = π
3. 3. 若a > 0, a 2 3 = 4 9, 则log 2 3 a = . 5分
4. 4. 设集合A = {(x, y) | y ⩾|x −2|, x ⩾0}, B = {(x, y) | y ⩽−x + b}, (1) b 的取值范围是 ; (2) 若(x, y) ∈A ∩B, 且x + 2y 的最大值为9, 则b 的值是 . 5分
   A. ∩B̸ = ∅.
5. 5. 棱长为1 的正方体ABCD −A1B1C1D1 的8 个顶点都在球O 的表面上, 则球O 的表面积是 ; 设E、F 分别是该正方体的棱AA1、DD1 的 中点, 则直线EF 被球O 截得的线段长为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 1 −2sin2 ( x + π 8 ) + 2 sin ( x + π 8 ) cos ( x + π 8 ) . 求: (1) 函数f(x) 的最小正周期; (2) 函数f(x) 的单调增区间.
2. 2. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训, 以提高下岗人员的再就业 能力. 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训, 已知参加过财会培训的有60%, 参加过计算机培训的有75%. 假设每个人 对培训项目的选择是相互独立的, 且各人的选择相互之间没有影响. (1) 任选1 名下岗人员, 求该人参加过培训的概率; (2) 任选3 名下岗人员, 求这3 人中至少有2 人参加过培训的概率. 381
3. 3. 如图, 已知直二面角α −PQ −β, A ∈PQ, B ∈α, C ∈β, CA = CB, ∠BAP = 45◦, 直线CA 和平面α 所成的角为30◦. (1) 证明: BC ⊥PQ; (2) 求二面角B −AC −P 的大小. A α P B Q C β
4. 4. 已知双曲线x2 −y2 = 2 的右焦点为F, 过点F 的动直线与双曲线相交于 A, B 两点, 点C 的坐标是(1, 0). (1) 证明: # » CA · # » CB 为常数; (2) 若动点M 满足# » CM = # » CA + # » CB + # » CO (其中O 为坐标原点), 求点 M 的轨迹方程.
5. 5. 设Sn 是数列{an} (n ∈N∗) 的前n 项和, a1 = a, 且S2 n = 3n2an + S2 n−1, an̸ = 0, n = 2, 3, 4, · · · . (1) 证明: 数列{an+2 −an} (n ⩾2) 是常数数列; (2) 试找出一个奇数a, 使以18 为首项, 7 为公比的等比数列{bn} (n ∈N∗) 中的所有项都是数列{an} 中的项, 并指出bn 是数列{an} 中的第几项.
6. 6. 已知函数f(x) = 1 3x3 + 1 2ax2 + bx 在区间[−1, 1), (1, 3] 内各有一个极值 点. (1) 求a2 −4b 的最大值; (2) 当a2 −4b = 8 时, 设函数y = f(x) 在点A(1, f(1)) 处的切线为l, 若 l 在点A 处穿过y = f(x) 的图象(即动点在点A 附近沿曲线y = f(x) 运 动, 经过点A 时, 从l 的一侧进入另一侧), 求函数f(x) 的表达式. 382

原卷配图（含真实几何/应用题图示）