2007年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年湖南（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 复数 ( 2i 1 + i )2 等于 ( ) 5分
   A. 4i B. −4i C. 2i D. −2i
2. 2. 不等式x −2 x + 1 ⩽0 的解集是 ( ) 5分
   A. (−∞, −1) ∪(−1, 2] B. [−1, 2] C. (−∞, −1) ∪[2, +∞) D. (−1, 2]
3. 3. 设M, N 是两个集合, 则“M ∪N̸ = ∅”是“M ∩N̸ = ∅”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 4. 设a, b 是非零向量, 若函数f(x) = (xa + b) · (a −xb) 的图象是一条直线, 则必有 ( ) b 5分
   A. a ⊥b B. a C. |a| = |b| D. |a|̸ = |b|
5. 5. 设随机变量ξ 服从标准正态分布N(0, 1). 已知Φ(−1.96) = 0.025, 则 P(|ξ| < 1.96) = ( ) 5分
   A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975
6. 6. 函数f(x) = { 4x −4, x ⩽1, x2 −4x + 3, x > 1, 的图象和函数g(x) = log2 x 的图象的 交点个数是 ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 7. 下列四个命题中, 不正确的是 ( ) x→x+ 0 f(x) = lim x→x− 0 f(x) x2 −4 的不连续点是x = 2 和x = −2 x→∞[f(x)−g(x)] = 0, 则lim x→∞f(x) = lim x→∞g(x) x→1 √x −1 x −1 = 1 2 5分
   A. 若函数f(x) 在x = x0 处连续, 则lim B. 函数f(x) = x + 2 C. 若函数f(x), g(x) 满足lim D. lim
8. 8. 棱长为1 的正方体ABCD −A1B1C1D1 的8 个顶点都在球O 的表面上, 为 ( ) (A) √ 2 2 √ 2 2 (D) √ 2 5分
   E. F 分别是棱AA1、DD1 的中点, 则直线EF 被球O 截得的线段长 B. 1 C. 1 +
9. 9. 设F1、F2 分别是椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, 若在其右 准线上存在P, 使线段PF1 的中垂线过点F2, 则椭圆离心率的取值范围 是 ( ) (A) ( 0, √ 2 2 ] (B) ( 0, √ 3 3 ] (C) [√ 2 2 , 1 ) (D) [√ 3 3 , 1 ) 5分
10. 10. 设集合M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, S1、S2、· · · 、Sk 都是M 的含两个元 素的子集, 且满足: 对任意的Si = {ai, bi}, Sj = {aj, bj} (i̸ = j, i、 j ∈{1, 2, 3, · · · , k}), 都有min {ai bi , bi ai }̸ = min {aj bj , bj aj } (min{x, y} 表示两个数x、y 中的较小者). 则k 的最大值是 ( ) 5分
    A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 圆心为(1, 1) 且与直线x + y = 4 相切的圆的方程是 . 5分
2. 2. 在△ABC 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 若a = 1, b = √ 7, √ 3, 则B = . 5分
   C. =
3. 3. 函数f(x) = 12x −x3 在区间[−3, 3] 上的最小值是 . 5分
4. 4. 设集合A = { (x, y)  y ⩾1 2|x −2| } , B = {(x, y) | y ⩽−|x| + b}, A∩B̸ = ∅. (1) b 的取值范围是 ; (2) 若(x, y) ∈A ∩B, 且x + 2y 的最大值为9, 则b 的值是 . 5分
5. 5. 将杨辉三角中的奇数换成1, 偶数换成0, 得到如图所示的0 −1 三角数表, 从上往下数, 第1 次全行的数都为1 的是第1 行, 第2 次全行的数都为1 的是第3 行, · · · , 第n 次全行的数都为1 的是第 行; 第61 行中1 的个数是 . 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 第5 行 第4 行 第3 行 第2 行 第1 行 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = cos2 ( x + π 12 ) , g(x) = 1 + 1 2 sin 2x. (1) 设x = x0 是函数y = f(x) 图象的一条对称轴, 求g(x0) 的值; (2) 求函数h(x) = f(x) + g(x) 的单调递增区间.
2. 2. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训, 以提高下岗人员的再就业 能力. 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训, 已知参加过财会培训的有60%, 参加过计算机培训的有75%. 假设每个人 对培训项目的选择是相互独立的, 且各人的选择相互之间没有影响. (1) 任选1 名下岗人员, 求该人参加过培训的概率; (2) 任选3 名下岗人员, 记ξ 为3 人中参加过培训的人数, 求ξ 的分布列 和期望.
3. 3. 如图1, E, F 分别是矩形ABCD 的边AB, CD 的中点, G 是EF 上的一 点, 将△GAB, △GCD 分别沿AB, CD 翻折成△G1AB, △G2CD, 并连 接G1G2, 使得平面G1AB ⊥平面ABCD, G1G2 AD, 且G1G2 < AD, 连接BG2, 如图2. (1) 证明: 平面G1AB ⊥平面G1ADG2; (2) 当AB = 12, BC = 25, EG = 8 时, 求直线BG2 和平面G1ADG2 所 成的角. A 图1 E B G C F D A 图2 E B G1 G2 C F D 379
4. 4. 如图, 某地为了开发旅游资源, 欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公 路, 点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α 所成的二面角为θ (0◦< θ < 90◦), 且sin θ = 2 5, 点P 到平面α 的距离PH = 0.4 (km). 沿山脚原有 一段笔直的公路AB 可供利用, 从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km, 原有公路改建费用为a 2 万元/km, 当山坡上公路长度为l km (1 ⩽l ⩽2) 时, 其造价为(l2 + 1)a 万元, 已知OA ⊥AB, PB ⊥AB, AB = 1.5 (km), OA = √ 3 (km). (1) 在AB 上求一点D, 使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小; (2) 对于(1) 中得到的点D, 在DA 上求一点E, 使沿折线PDEO 修建公 路的总造价最小; (3) 在AB 上是否存在两个不同的点D′, E′, 使沿折线PD′E′O 修建公路 的总造价小于(2) 中得到的最小总造价, 证明你的结论. A E B O P H D
5. 5. 已知双曲线x2 −y2 = 2 的左、右焦点分别为F1, F2, 过点F2 的动直线与 双曲线相交于A, B 两点. (1) 若动点M 满足# » F1M = # » F1A + # » F1B + # » F1O (其中O 为坐标原点), 求点 M 的轨迹方程; (2) 在x 轴上是否存在定点C, 使# » CA · # » CB 为常数? 若存在, 求出点C 的 坐标; 若不存在, 请说明理由.
6. 6. 已知An(an, bn) (n ∈N∗) 是曲线y = ex 上的点, a1 = a, Sn 是数列{an} 的前n 项和, 且满足S2 n = 3n2an + S2 n−1, an̸ = 0, n = 2, 3, 4, · · · . (1) 证明: 数列 {bn+2 bn } (n ⩾2) 是常数数列; (2) 确定a 的取值集合M, 使a ∈M 时, 数列{an} 是单调递增数列; (3) 证明: 当a ∈M 时, 弦AnAn+1 (n ∈N∗) 的斜率随n 单调递增. 380

原卷配图（含真实几何/应用题图示）