2007年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 且A = {2, 3, 4}, B = {1, 2}, 则A∩(∁UB) 等于 ( ) 5分
   A. {2} B. {5} C. {3, 4} D. {2, 3, 4, 5}
2. 2. 等比数列{an} 中, a4 = 4, 则a2 · a6 等于 ( ) 5分
   A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
3. 3. sin 15◦cos 75◦+ cos 15◦sin 105◦等于 ( ) 2 (C) √ 3 2 5分
   A. 0 B. 1 D. 1
4. 4. “|x| < 2”是“x2 −x −6 < 0”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 函数f(x) = sin ( 2x + π 3 ) 的图象 ( ) (π 3 , 0 ) 对称 4 对称 (π 4 , 0 ) 对称 3 对称 5分
   A. 关于点 B. 关于直线x = π C. 关于点 D. 关于直线x = π
6. 6. 如图, 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E、F、G、H 分别为AA1、AB、 BB1、B1C1 的中点, 则异面直线EF 与GH 所成的角等于 ( ) A B E H C D G F A1 B1 C1 D1 5分
   A. 45◦ B. 60◦ C. 90◦ D. 120◦
7. 7. 已知f(x) 为R 上的减函数, 则满足f (1 x ) > f(1) 的实数x 的取值范围 是 ( ) 5分
   A. (−∞, 1) B. (1, +∞) C. (−∞, 0) ∪(0, 1) D. (−∞, 0) ∪(1, +∞)
8. 8. 对于向量a、b、c 和实数λ, 下列命题中真命题的是 ( ) 5分
   A. 若a · b = 0, 则a = 0 或b = 0 (B) 若λa = 0, 则λ = 0 或a = 0 C. 若a2 = b2, 则a = b 或a = −b (D) 若a · b = a · c, 则b = c
9. 9. 已知m、n 为两条不同的直线, α、β 为两个不同的平面, 则下列命题中正 确的是 ( ) β, n β ⇒α β β, m ⊂α, n ⊂β ⇒m n α m, n ⊂α ⇒m ⊥α 5分
   A. m ⊂α, n ⊂α, m B. α C. m ⊥α, m ⊥n ⇒n D. n
10. 10. 以双曲线x2 −y2 = 2 的右焦点为圆心, 且与其右准线相切的圆的方程 是 ( ) 5分
    A. x2 + y2 −4x −3 = 0 B. x2 + y2 −4x + 3 = 0 C. x2 + y2 + 4x −5 = 0 D. x2 + y2 + 4x + 5 = 0
11. 11. 已知对任意实数x, 有f(−x) = −f(x), g(−x) = g(x), 且x > 0 时, ( ) 5分
    F. ′(x) > 0, g′(x) > 0, 则x < 0 时, A. f ′(x) > 0, g′(x) > 0 B. f ′(x) > 0, g′(x) < 0 C. f ′(x) < 0, g′(x) > 0 D. f ′(x) < 0, g′(x) < 0
12. 12. 某通讯公司推出一组手机号码, 卡号的前七位数字固定, 从“××××××× 0000”到“×××××××9999”共10000 个号码. 公司规定: 凡卡号的后四位带 有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”, 则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) 5分
    A. 2000 B. 4096 C. 5904 D. 8320

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( x2 + 1 x )6 的展开式中常数项是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 已知实数x、y 满足        x + y ⩾2, x −y ⩽2, 0 ⩽y ⩽3, 则z = 2x −y 的取值范围是 . 5分
3. 3. 已知长方形ABCD, AB = 4, BC = 3, 则以A、B 为焦点, 且过C、D 两 点的椭圆的离心率为 . 5分
4. 4. 中学数学中存在许多关系, 比如“相等关系”、“平行关系”等等. 如果集合A 中元素之间的一个关系“∼”满足以下三个条件: ①自反性: 对于任意a ∈A, 都有a ∼a; ②对称性: 对于a, b ∈A, 若a ∼b, 则有b ∼a; ③传递性: 对于a, b, c ∈A, 若a ∼b, b ∼c, 则有a ∼c. 则称“∼”是集合A 的一个等价关系. 例如: “数的相等”是等价关系, 而“直线 的平行”不是等价关系(自反性不成立). 请你再列出两个等价关系: . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, tan A = 1 4, tan B = 3 5. (1) 求角C 的大小; (2) 若AB 边的长为 √ 17, 求BC 边的长.
2. 2. 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2 米高度成功的概率分别为0.7、0.6, 且 每次试跳成功与否相互之间没有影响, 求: (1) 甲试跳三次, 第三次才成功的概率; (2) 甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (3) 甲、乙各试跳两次, 甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 369
3. 3. 如图, 正三棱柱ABC −A1B1C1 的所有棱长都为2, D 为CC1 中点. (1) 求证: AB1 ⊥平面A1BD; (2) 求二面角A −AD1 −B 的大小. A B C D A1 B1 C1
4. 4. 设函数f(x) = tx2 + 2t2x + t −1 (x ∈R, t > 0). (1) 求f(x) 的最小值h(t); (2) 若h(t) < −2t + m 对t ∈(0, 2) 恒成立, 求实数m 的取值范围.
5. 5. 数列{an} 的前n 项和为Sn, a1 = 1, an+1 = 2Sn (n ∈N∗). (1) 求数列{an} 的通项an; (2) 求数列{nan} 的前n 项和Tn.
6. 6. 如图, 已知点F(1, 0), 直线l: x = −1, P 为平面上的动点, 过P 作直线l 的垂线, 垂足为点Q, 且# » QP · # » QF = # » FP · # » FQ. (1) 求动点P 的轨迹C 的方程; (2) 过点F 的直线交轨迹C 于A、B 两点, 交直线l 于点M. ①已知# » MA = λ1 # » AF, # » MB = λ2 # » BF, 求λ1 + λ2 的值; ②求 # » MA  · # » MB  的最小值. x y O F −1 1 l 370

原卷配图（含真实几何/应用题图示）