2007年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年福建（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数 1 (1 + i)2 等于 ( ) 2 2 2i 2i 5分
   A. 1 B. −1 C. 1 D. −1
2. 2. 数列{an} 的前n 项和为Sn, 若an = 1 n(n + 1), 则S5 等于 ( ) 6 6 30 5分
   A. 1 B. 5 C. 1 D. 1
3. 3. 已知集合A = {x | x < a}, B = {x | 1 < x < 2}, 且A ∪(∁RB) = R, 则实 数a 的取值范围是 ( ) 5分
   A. a ⩽1 B. a < 1 C. a ⩾2 D. a > 2
4. 4. 对于向量a、b、c 和实数λ, 下列命题中真命题的是 ( ) 5分
   A. 若a · b = 0, 则a = 0 或b = 0 (B) 若λa = 0, 则λ = 0 或a = 0 C. 若a2 = b2, 则a = b 或a = −b (D) 若a · b = a · c, 则b = c
5. 5. 已知函数f(x) = sin ( ωx + π 3 ) (ω > 0) 的最小正周期为π, 则该函数的图 象 ( ) (π 3 , 0 ) 对称 4 对称 (π 4 , 0 ) 对称 3 对称 5分
   A. 关于点 B. 关于直线x = π C. 关于点 D. 关于直线x = π
6. 6. 以双曲线x2 9 −y2 16 = 1 的右焦点为圆心, 且与其渐近线相切的圆的方程 是 ( ) 5分
   A. x2 + y2 −10x + 9 = 0 B. x2 + y2 −10x + 16 = 0 C. x2 + y2 + 10x + 16 = 0 D. x2 + y2 + 10x + 9 = 0
7. 7. 已知f(x) 为R 上的减函数, 则满足f ( 1 x  ) < f(1) 的实数x 的取值范 围是 ( ) 5分
   A. (−1, 1) B. (0, 1) C. (−1, 0) ∪(0, 1) D. (−∞, −1) ∪(1, +∞)
8. 8. 已知m、n 为两条不同的直线, α、β 为两个不同的平面, 则下列命题中正 确的是 ( ) β, n β ⇒α β β, m ⊂α, n ⊂β ⇒m n α m, n ⊂α ⇒m ⊥α 5分
   A. m ⊂α, n ⊂α, m B. α C. m ⊥α, m ⊥n ⇒n D. n
9. 9. 把1 + (1 + x) + (1 + x)2 + · · · + (1 + x)n 展开成关于x 的多项式, 其各项 系数和为an, 则lim n→∞ 2an −1 an + 1 等于 ( ) 4 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
10. 10. 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD−A′B′C′D′ 中, AB = 1, AA′ = √ 2, 则A、C 两点间的球面距离为 ( ) 4 2 (C) √ 2 4 π (D) √ 2 2 π 5分
    A. π B. π
11. 11. 已知对任意实数x, 有f(−x) = −f(x), g(−x) = g(x), 且x > 0 时, ( ) 5分
    F. ′(x) > 0, g′(x) > 0, 则x < 0 时, A. f ′(x) > 0, g′(x) > 0 B. f ′(x) > 0, g′(x) < 0 C. f ′(x) < 0, g′(x) > 0 D. f ′(x) < 0, g′(x) < 0
12. 12. 如图, 三行三列的方阵中有9 个数aij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), 从中任取 三个数, 则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ( )    a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33    7 7 14 14 5分
    A. 3 B. 4 C. 1 D. 13

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知实数x、y 满足        x + y ⩾2, x −y ⩽2, 0 ⩽y ⩽3, 则z = 2x −y 的取值范围是 . 5分
2. 2. 已知正方形ABCD, 则以A、B 为焦点, 且过C、D 两点的椭圆的离心率 为 . 5分
3. 3. 两封信随机投入A、B、C 三个空邮箱, 则A 邮箱的信件数ξ 的数学期望 Eξ = . 5分
4. 4. 中学数学中存在许多关系, 比如“相等关系”、“平行关系”等等. 如果集合A 中元素之间的一个关系“∼”满足以下三个条件: ①自反性: 对于任意a ∈A, 都有a ∼a; ②对称性: 对于a, b ∈A, 若a ∼b, 则有b ∼a; ③传递性: 对于a, b, c ∈A, 若a ∼b, b ∼c, 则有a ∼c. 则称“∼”是集合A 的一个等价关系. 例如: “数的相等”是等价关系, 而“直线 的平行”不是等价关系(自反性不成立). 请你再列出三个等价关系: . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, tan A = 1 4, tan B = 3 5. (1) 求角C 的大小; (2) 若AB 边的长为 √ 17, 求BC 边的长.
2. 2. 如图, 正三棱柱ABC −A1B1C1 的所有棱长都为2, D 为CC1 中点. (1) 求证: AB1 ⊥平面A1BD; (2) 求二面角A −AD1 −B 的大小; (3) 求点C 到平面A1BD 的距离. A B C D A1 B1 C1
3. 3. 某分公司经销某种品牌产品, 每件产品的成本为3 元, 并且每件产品需向 总公司交a 元(3 ⩽a ⩽5) 的管理费, 预计当每件产品的售价为x 元 (9 ⩽x ⩽11) 时, 一年的销售量为(12 −x)2 万件. (1) 求分公司一年的利润L (万元) 与每件产品的售价x 的函数关系式; (2) 当每件产品的售价为多少元时, 分公司一年的利润L 最大? 并求出L 的最大值Q(a). 367
4. 4. 如图, 已知点F(1, 0), 直线l: x = −1, P 为平面上的动点, 过P 作直线l 的垂线, 垂足为点Q, 且# » QP · # » QF = # » FP · # » FQ. (1) 求动点P 的轨迹C 的方程; (2) 过点F 的直线交轨迹C 于A、B 两点, 交直线l 于点M, 已知 # » MA = λ1 # » AF, # » MB = λ2 # » BF, 求λ1 + λ2 的值. x y O F −1 1 l
5. 5. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn, a1 = 1 + √ 2, S3 = 9 + 3 √ 2. (1) 求数列{an} 的通项an 与前n 项和为Sn; (2) 设bn = Sn n (n ∈N∗), 求证: 数列{bn} 中任意不同的三项都不可能成 为等比数列.
6. 6. 已知函数f(x) = ex −kx, x ∈R. (1) 若k = e, 试确定函数f(x) 的单调区间; (2) 若k > 0, 且对于任意x ∈R, f(|x|) > 0 恒成立, 试确定实数k 的取值 范围; (3) 设函数F(x) = f(x) + f(−x), 求证: F(1)F(2) · · · F(n) > (en+1 + 2) n 2 (n ∈N∗). 368

原卷配图（含真实几何/应用题图示）