2007年辽宁（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年辽宁（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若集合A = {1, 3}, N = {2, 3, 4}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {1} B. {2} C. {3} D. {1, 2, 3, 4}
2. 2. 若函数y = f(x) 的反函数图象过点(1, 5), 则函数y = f(x) 的图象必过 点 ( ) 5分
   A. (5, 1) B. (1, 5) C. (1, 1) D. (5, 5)
3. 3. 双曲线x2 16 −y2 9 = 1 的焦点坐标为 ( ) √ 7, 0)、( √ 7, 0) √ 7)、(0, √ 7) 5分
   A. (− B. (0, − C. (−5, 0)、(5, 0) D. (0, −5)、(0, 5)
4. 4. 若向量a 与b 不共线, a · b̸ = 0, 且c = a − ) b, 则向量a 与c 的 夹角为 ( ) 6 3 2 5分
   A. · a A. · b A. 0 B. π C. π D. π
5. 5. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若S3 = 9, S6 = 36, 则a7 + a8 + a9 = ( ) 5分
   A. 63 B. 45 C. 36 D. 27
6. 6. 若m、n 是两条不同的直线, α、β、γ 是三个不同的平面, 则下列命题中的 真命题是 ( ) α, 则α ⊥β n, 则α β 5分
   A. 若m ⊂β, α ⊥β, 则m ⊥α B. 若m ⊥β, m C. 若α ⊥γ, α ⊥β, 则β ⊥γ D. 若α ∩γ = m, β ∩γ = n, m
7. 7. 若函数y = f(x) 的图象按向量a 平移后, 得到函数y = f(x −1) −2 的图 象, 则向量a = ( ) 5分
   A. (1, −2) B. (1, 2) C. (−1, −2) D. (−1, 2)
8. 8. 已知变量x、y 满足约束条件        x −y + 2 ⩽0, x ⩾1, x + y −7 ⩽0, 则y x 的取值范围是 ( ) (A) [9 5, 6 ] (B) ( −∞, 9 5 ] ∪[6, +∞) 5分
   C. (−∞, 3] ∪[6, +∞) D. [3, 6]
9. 9. 函数log 1 2 (x2 −5x + 6) 的单调减区间为 ( ) (A) (5 2, +∞ ) (C) ( −∞, 5 2 ) 5分
   B. (3, +∞) D. (−∞, 2)
10. 10. 一个坛子里有编号为1, 2, · · · , 12 的12 个大小相同的球, 其中1 到6 号 球是红球, 其余的是黑球. 若从中任取两个球, 则取到的都是红球, 且至少 有1 个球的号码是偶数的概率为 ( ) 22 11 22 11 5分
    A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
11. 11. 设p、q 是两个命题, p: |x| −3 > 0, q: x2 −5 6x + 1 6 > 0, 则p 是q 的( ) 5分
    A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 12. 将数字1, 2, 3, 4, 5, 6 排成一列, 记第i 个数为ai (i = 1, 2, · · · , 6). 若 a1̸ = 1, a3̸ = 3, a5̸ = 5, a1 < a3 < a5, 则不同的排列方法种数为 ( ) 5分
    A. 18 B. 30 C. 36 D. 48

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知函数y = f(x) 为奇函数, 若f(3) −f(2) = 1, 则f(−2) − f(−3) = . 5分
2. 2. (√x + 1 4√x )8 展开式中含有x 的整数次幂的项的系数之和为 . (用 数字作答) 5分
3. 3. 若一个底面边长为 √ 6 2 , 侧棱长为 √ 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球 的面上, 则此球的体积为 . 5分
4. 4. 设椭圆x2 25 + y2 16 = 1 上一点P 到左准线的距离为10, F 是该椭圆的左焦 点. 若点M 满足# » OM = 1 2 (# » OP + # » OF ) , 则 # » OM  = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000 支, 该公司对这些灯管的 使用寿命(单位: 小时) 进行了统计, 统计结果如下表所示: 分组 [500, 900) [900, 1100) [1100, 1300) [1300, 1500) 频数 48 121 208 223 频率 分组 [1500, 1700) [1700, 1900) [1900, +∞) 频数 193 165 42 频率 (1) 将各组的频率填入表中; (2) 根据上述统计结果, 计算灯管使用寿命不足1500 小时的频率; (3) 该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3 支, 若将上述频率作为概 率, 试求至少有2 支灯管的寿命不足1500 小时的概率.
2. 2. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠ACB = 90◦, AC = BC = a, D、 为30◦. (1) 证明: A1B1 ⊥C1D; (2) 求MA 的长, 并求点C 到平面MDE 的距离. A M A1 E B B1 C C1 D
3. 3. 已知函数f(x) = sin ( ωx + π 6 ) + sin ( ωx −π 6 ) −2 cos2 ωx 2 , x ∈R (其中 ω > 0). (1) 求函数f(x) 的值域; (2) 若函数y = f(x) 的图象与直线y = −1 的两个相邻交点间的距离为π 2 , 求函数y = f(x) 的单调区间. 391
4. 4. 已知数列{an}, {bn} 满足a1 = 2, b1 = 1, 且      an = 3 4an−1 + 1 4bn−1 + 1, bn = 1 4an−1 + 3 4bn−1 + 1, (n ⩾2). (1) 令cn = an + bn, 求数列{cn} 的通项公式; (2) 求数列{an} 的通项公式及前n 项和.
5. 5. 已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y2 = 2x 上, 其中O 为坐标原 点, 设圆C 是△OAB 的外接圆(点C 为圆心). (1) 求圆C 的方程; (2) 设圆M 的方程为(x −4 −7 cos θ)2 + (y −7 sin θ)2 = 1, 过圆M 上任 意一点P 分别作圆C 的两条切线PE、PF, 切点为E、F, 求# » CE · # » CF 的最大值和最小值.
6. 6. 已知函数f(x) = x2 −9x2 cos α + 48x cos β + 18 sin2 α, g(x) = f ′(x), 且对 任意的实数t 均有g(1 + cos t) ⩾0, g(3 + sin t) ⩽0. (1) 求函数f(x) 的解析式; (2) 若对任意的m ∈[−26, 6], 恒有f(x) ⩾x2 −mx −11, 求x 的取值范围. 392

原卷配图（含真实几何/应用题图示）