2007年辽宁（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年辽宁（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, B = {2, 3, 4}, 则 (∁UA) ∩(∁UB) = ( ) 5分
   A. {1} B. {5} C. {2, 4} D. {1, 2, 4, 5}
2. 2. 若函数y = f(x) 的反函数图象过点(1, 5), 则函数y = f(x) 的图象必过 点 ( ) 5分
   A. (1, 1) B. (1, 5) C. (5, 1) D. (5, 5)
3. 3. 若向量a 与b 不共线, a · b̸ = 0, 且c = a − ) b, 则向量a 与c 的 夹角为 ( ) 6 3 2 5分
   A. · a A. · b A. 0 B. π C. π D. π
4. 4. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若S3 = 9, S6 = 36, 则a7 + a8 + a9 = ( ) 5分
   A. 63 B. 45 C. 36 D. 27
5. 5. 若θ ∈ (3 4π, 5 4π ) , 则复数(cos θ + sin θ) + (sin θ −cos θ)i 在复平面内所对 应的点在 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 6. 若函数y = f(x) 的图象按向量a 平移后, 得到函数y = f(x + 1) −2 的图 象, 则向量a = ( ) 5分
   A. (−1, −2) B. (1, −2) C. (−1, 2) D. (1, 2)
7. 7. 若m、n 是两条不同的直线, α、β、γ 是三个不同的平面, 则下列命题中的 真命题是 ( ) n, 则α β α, 则α ⊥β 5分
   A. 若m ⊂β, α ⊥β, 则m ⊥α B. 若α ∩γ = m, β ∩γ = n, m C. 若m ⊥β, m D. 若α ⊥γ, α ⊥β, 则β ⊥γ
8. 8. 已知变量x、y 满足约束条件        x −y + 2 ⩽0, x ⩾1, x + y −7 ⩽0, 则y x 的取值范围是 ( ) (A) [9 5, 6 ] (B) ( −∞, 9 5 ] ∪[6, +∞) 5分
   C. (−∞, 3] ∪[6, +∞) D. [3, 6]
9. 9. 一个坛子里有编号为1, 2, · · · , 12 的12 个大小相同的球, 其中1 到6 号 球是红球, 其余的是黑球. 若从中任取两个球, 则取到的都是红球, 且至少 有1 个球的号码是偶数的概率为 ( ) 22 11 22 11 5分
   A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
10. 10. 设p、q 是两个命题, p: log 1 2 (|x| −3) > 0, q: x2 −5 6x + 1 6 > 0, 则p 是q 的 ( ) 5分
    A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 11. 设P 为双曲线x2 −y2 12 = 1 上的一点, F1、F2 是该双曲线的两个焦点. 若 |P1F| : |PF2| = 3 : 2, 则△PF1F2 的面积为 ( ) √ 3 √ 3 5分
    A. 6 B. 12 C. 12 D. 24
12. 12. 已知f(x) 与g(x) 是定义在R 上的连续函数, 如果f(x) 与g(x) 仅当 x = 0 时的函数值为0, 且f(x) ⩾g(x), 那么下列情形不可能出现的是( ) 5分
    A. 0 是f(x) 的极大值, 也是g(x) 的极大值 B. 0 是f(x) 的极小值, 也是g(x) 的极小值 C. 0 是f(x) 的极大值, 但不是g(x) 的极值 D. 0 是f(x) 的极小值, 但不是g(x) 的极值

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知函数f(x) = { x ⩾0, x2 −1, x < 0, 在点x = 0 处连续, 则a = . 5分
   A. cos x,
2. 2. 设椭圆x2 25 + y2 16 = 1 上一点P 到左准线的距离为10, F 是该椭圆的左焦 点. 若点M 满足# » OM = 1 2 (# » OP + # » OF ) , 则 # » OM  = . 5分
3. 3. 若一个底面边长为 √ 6 2 , 侧棱长为 √ 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球 的面上, 则此球的体积为 . 5分
4. 4. 将数字1, 2, 3, 4, 5, 6 排成一列, 记第i 个数为ai (i = 1, 2, · · · , 6). 若 a1̸ = 1, a3̸ = 3, a5̸ = 5, a1 < a3 < a5, 则不同的排列方法共有 种. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = sin ( ωx + π 6 ) + sin ( ωx −π 6 ) −2 cos2 ωx 2 , x ∈R (其中 ω > 0). (1) 求函数f(x) 的值域; (2) 若对任意的a ∈R, 函数y = f(x), x ∈(a, a+π] 的图象与直线y = −1 有且仅有两个不同的交点, 试确定ω 的值(不必证明), 并求函数y = f(x), x ∈R 的单调增区间.
2. 2. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠ACB = 90◦, AC = BC = a, D、 为30◦. (1) 证明: A1B1 ⊥C1D; (2) 求MA 的长, 并求点C 到平面MDE 的距离. A M A1 E B B1 C C1 D
3. 3. 某企业准备投产一批特殊型号的产品, 已知该种产品的成本C 与产量q 的 函数关系式为C = q3 3 −3q2 + 20q + 10 (q > 0). 该种产品的市场前景无法 确定, 有三种可能出现的情形, 各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系如下表所示: 市场情形 概率 价格p 与产量q 的函数关系式 好 0.4 p = 164 −3q 中 0.4 p = 101 −3q 差 0.2 p = 70 −3q 设L1、L2、L3 分别表示市场情形好、中、差时的利润, 随机变量ξq 表示 当产量为q 而市场前景无法确定时的利润. (1) 分别求利润L1、L2、L3 与产量q 的函数关系式; (2) 当产量q 确定时, 求期望Eξq; (3) 试问产量q 取何值时, Eξq 取得最大值. 389
4. 4. 已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y2 = 2x 上, 其中O 为坐标原 点, 设圆C 是△OAB 的外接圆(点C 为圆心). (1) 求圆C 的方程; (2) 设圆M 的方程为(x −4 −7 cos θ)2 + (y −7 sin θ)2 = 1, 过圆M 上任 意一点P 分别作圆C 的两条切线PE、PF, 切点为E、F, 求# » CE · # » CF 的最大值和最小值.
5. 5. 已知数列{an}、{bn} 与函数f(x)、g(x), x ∈R 满足条件: b1 = b, an = f(bn) = g(bn+1) (n ∈N∗). (1) 若f(x) = tx + 1 (t̸ = 0, t̸ = 2), g(x) = 2x, f(b)̸ = g(b), 且lim n→∞an 存 在, 求t 的取值范围, 并求lim n→∞an (用t 表示); (2) 若函数y = f(x) 为R 上的增函数, g(x) = f −1(x), b = 1, f(1) < 1, 证 明对任意的n ∈N∗, an+1 < an.
6. 6. 已知函数f(x) = e2x −2t(ex + x) + x2 + 2t2 + 1, g(x) = 1 2f ′(x). (1) 证明: 当t < 2 √ 2 时, g(x) 在R 上是增函数; (2) 对于给定的闭区间[a, b], 试说明存在实数k, 当t > k 时, g(x) 在闭区 间[a, b] 上是减函数; (3) 证明: f(x) ⩾3 2. 390

原卷配图（含真实几何/应用题图示）