2007年重庆（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年重庆（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若等差数列{an} 的前3 项和S3 = 9 且a1 = 1, 则a2 等于 ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 2. 命题“若x2 < 1, 则−1 < x < 1”的逆否命题是 ( ) 5分
   A. 若x2 ⩾1, 则x ⩾1 或x ⩽−1 B. 若−1 < x < 1, 则x2 < 1 C. 若x > 1 或x < −1, 则x2 > 1 D. 若x ⩾1 或x ⩽−1, 则x2 ⩾1
3. 3. 若三个平面两两相交, 且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分成( ) 5分
   A. 5 部分 B. 6 部分 C. 7 部分 D. 8 部分
4. 4. 若 ( x + 1 x )n 展开式的二项式系数之和为64, 则展开式的常数项为 ( ) 5分
   A. 10 B. 20 C. 30 D. 120
5. 5. 在△ABC 中, AB = √ 3, A = 45◦, C = 75◦, 则BC = ( ) √ 3 (B) √ 2 √ 3 5分
   A. 3 − C. 2 D. 3 +
6. 6. 从5 张100 元, 3 张200 元, 2 张300 元的奥运预赛门票中任取3 张, 则所 取3 张中至少有2 张价格相同的概率为 ( ) 4 120 4 24 5分
   A. 1 B. 79 C. 3 D. 23
7. 7. 若a 是1 + 2b 与1 −2b 的等比中项, 则 2ab |a| + 2|b| 的最大值为 ( ) √ 5 5 (B) √ 2 4 (C) √ 5 5 (D) √ 2 2 5分
   A. 2
8. 8. 设正数a, b 满足lim x→2(x2 + ax −b) = 4, 则lim n→∞ an+1 + abn−1 an−1 + 2bn = ( ) 4 2 5分
   A. 0 B. 1 C. 1 D. 1
9. 9. 已知定义域为R 的函数f(x) 在(8, +∞) 上为减函数, 且函数y = f(x+8) 为偶函数, 则 ( ) 5分
   A. f(6) > f(7) B. f(6) > f(9) C. f(7) > f(9) D. f(7) > f(10)
10. 10. 如图, 在四边形ABCD 中, # » AB + # » BD + # » DC  = 4, # » AB · # » BD + # » BD · # » DC  = 4, # » AB · # » BD = # » BD · # » DC = 0, 则 (# » AB + # » DC ) · # » AC 的值为 ( ) A D B C √ 2 √ 2 5分
    A. 2 B. 2 C. 4 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 复数 2i 2 + i3 的虚部为 . 5分
2. 2. 已知x, y 满足        x −y ⩽1, 2x + y ⩽4, x ⩾1, 则函数z = x + 3y 的最大值是 . 5分
3. 3. 若函数f(x) = √ 2x2+2ax−a −1 的定义域为R, 则a 的取值范围为 . 5分
4. 4. 设{an} 为公比q > 1 的等比数列, 若a2004 和a2006 是方程4x2−8x+3 = 0 的两根, 则a2006 + a2007 = . 5分
5. 5. 某校要求每位学生从7 门课程中选修4 门, 其中甲、乙两门课程不能都选, 则不同的选课方案有 种. (用数字作答) 5分
6. 6. 过双曲线x2 −y2 = 4 的右焦点F 作倾斜角为105◦的直线, 交双曲线于 P、Q 两点, 则|FP| · |FQ| 的值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设f(x) = 6 cos2 x − √ 3 sin 2x. (1) 求f(x) 的最大值及最小正周期; (2) 若锐角α 满足f(α) = 3 −2 √ 3, 求tan 4 5α 的值.
2. 2. 某单位有三辆汽车参加某种事故保险. 单位年初向保险公司缴纳每辆900 元的保险金. 对在一年内发生此种事故的每辆汽车, 单位可获9000 元的赔 偿(假设每辆车最多只赔偿一次). 设这三辆车在一年内发生此种事故的概 率分别为1 9、1 10、1 11, 且各车是否发生事故相互独立. 求一年内该单位在 此保险中: (1) 获赔的概率; (2) 获赔金额ξ 的分布列与期望.
3. 3. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AA1 = 2, AB = 1, ∠ABC = 90◦; 点D、E 分别在BB1、A1D 上, 且B1E ⊥A1D, 四棱锥C −ABDA1 与 直三棱柱的体积之比为3 : 5. (1) 求异面直线DE 与B1C1 的距离; (2) 若BC = √ 2, 求二面角A1 −DC1 −B1 的平面角的正切值. A A1 E B B1 C C1 D 355
4. 4. 已知函数f(x) = ax4 ln x + bx4 −c (x > 0) 在x = 1 处取得极值−3 −c, 其中a, b, c 为常数. (1) 试确定a, b 的值; (2) 讨论函数f(x) 的单调区间; (3) 若对任意x > 0, 不等式f(x) ⩾−2c2 恒成立, 求c 的取值范围.
5. 5. 已知各项均为正数的数列{an} 的前n 项和Sn 满足S1 > 1, 且 6Sn = (an + 1)(an + 2), n ∈N+. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设数列{bn} 满足an ( 2bn −1 ) = 1, 并记Tn 为{bn} 的前n 项和, 求 证: 3Tn + 1 > log2(an + 3), n ∈N+.
6. 6. 如图, 中心在原点O 的椭圆的右焦点为F(3, 0), 右准线l 的方程为: x = 12. (1) 求椭圆的方程; (2) 在椭圆上任取三个不同点P1、P2、P3, 使∠P1FP2 = ∠P2FP3 = ∠P3FP1, 证明 1 |FP1| + 1 |FP2| + 1 |FP3| 为定值, 并求此定值. x y O F P1 P3 l P2 356

原卷配图（含真实几何/应用题图示）