2007年陕西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2007年陕西（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 集合A = {2, 3, 6}, 则集合∁UA 等 于 ( ) 5分
   A. {1, 4} B. {4, 5} C. {1, 4, 5} D. {2, 3, 6}
2. 2. 函数f(x) = lg √ 1 −x2 的定义域为 ( ) 5分
   A. [0, 1] B. (−1, 1) C. [−1.1] D. (−∞, −1) ∪(1, +∞)
3. 3. 抛物线x2 = y 的准线方程是 ( ) 5分
   A. 4x + 1 = 0 B. 4y + 1 = 0 C. 2x + 1 = 0 D. 2y + 1 = 0
4. 4. 已知sin α = √ 5 5 , 则sin4 α −cos4 α 的值为 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
5. 5. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若S2 = 2, S4 = 10, 则S6 等于 ( ) 5分
   A. 12 B. 18 C. 24 D. 42
6. 6. 某商场有四类食品, 其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分 别有40 种、10 种、30 种、20 种, 现从中抽取一个容量为20 的样本进行 食品安全检测. 若采用分层抽样的方法抽取样本, 则抽取的植物油类与果 蔬类食品种数之和是 ( ) 5分
   A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 7. Rt△ABC 的三个顶点在半径为13 的球面上, 直角边的长分别为6 和8, 则球心到平面ABC 的距离是 ( ) 5分
   A. 5 B. 6 C. 10 D. 12
8. 8. 设函数f(x) = 2x + 1 (x ∈R) 的反函数为f −1(x), 则函数y = f −1(x) 的 图象是 ( ) (A) x 2 1 y 1 O (B) x 2 1 y 1 O (C) x 2 1 y 1 O (D) x 2 1 y 1 −1 O 5分
9. 9. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0), 以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 ( ) (C) √ ab (D) √ a2 + b2 5分
   A. a B. b
10. 10. 已知P 为平面α 外一点, 直线l ⊂α, 点Q ∈l, 记点P 到平面α 的距离 为a, 点P 到直线l 的距离为b, 点P、Q 之间的距离为c, 则 ( ) 5分
    A. a ⩽b ⩽c B. c ⩽a ⩽b C. a ⩽c ⩽b D. b ⩽c ⩽a
11. 11. 给出如下三个命题: ①设a, b ∈R, 且ab̸ = 0, 若b ②四个非零实数a, b, c, d 依次成等比数列的充要条件是ad = bc; ③若f(x) = log2 x, 则f(|x|) 是偶函数. 其中正确命题的序号是 ( ) 5分
    A. > 1, 则a B. < 1; A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
12. 12. 某生物生长过程中, 在三个连续时段内的增长量都相等, 在各时段内平均 增长速度分别为v1、v2、v3, 该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速 度为 ( ) 3 (B) 1 v1 + 1 v2 + 1 v3 3 (C) 3√v1v2v3 (D) 3 1 v1 + 1 v2 + 1 v3 5分
    A. v1 + v2 + v3

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (1 + 2x)5 的展开式中x2 项的系数是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 已知实数x, y 满足条件        x −2y + 4 ⩾0, 3x −y −3 ⩽, 0 x ⩾0, y ⩾0, 则z = x + 2y 的最大值 为 . 5分
3. 3. 安排3 名支教教师去4 所学校任教, 每校至多2 人, 则不同的分配方案共 有 种. (用数字作答) 5分
4. 4. 如图, 平面内有三个向量# » OA, # » OB, # » OC, 其中# » OA 与# » OB 的夹角为120◦, # » OA 与# » OC 的夹角为30◦, 且 # » OA  = # » OB  = 1, # » OC  = 2 √ 3. 若 # » OC = λ# » OA + µ# » OB (λ, µ ∈R), 则λ + µ 的值为 . A O B C 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = a · b, 其中向量a = (m, cos x), b = (1 + sin x, 1), x ∈R, 且 f (π 2 ) = 2. (1) 求实数m 的值; (2) 求函数f(x) 的最小值.
2. 2. 某项选拔共有四轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进入下一 轮考核, 否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题 的概率分别为4 5、3 5、2 5、1 5, 且各轮问题能否正确回答互不影响. (1) 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2) 求该选手至多进入第三轮考核的概率. 403
3. 3. 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中, AD BC, ∠ABC = 90◦, PA ⊥平面ABCD, PA = 3, AD = 2, AB = 2 √ 3, BC = 6. (1) 求证: BD ⊥平面PAC; (2) 求二面角P −BD −A 的大小. A P E B C D
4. 4. 已知实数列{an} 是等比数列, 其中a7 = 1, 且a4, a5 + 1, a6 成等差数列. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 数列{an} 的前n 项和记为Sn, 证明: Sn < 128 (n = 1, 2, 3, · · · ).
5. 5. 已知f(x) = ax3 + bx2 + cx 在区间[0, 1] 上是增函数, 在区间(−∞, 0), (1, +∞) 上是减函数. 又f ′ (1 2 ) = 3 2. (1) 求f(x) 的解析式; (2) 若在区间[0, m] (m > 0) 上恒有f(x) ⩽x 成立, 求m 的取值范围.
6. 6. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 6 3 , 短轴一个端点到 右焦点的距离为 √ 3. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设直线l 与椭圆C 交于A, B 两点, 坐标原点O 到直线l 的距离为 √ 3 2 , 求△AOB 面积的最大值. 404

原卷配图（含真实几何/应用题图示）