2007年陕西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2007年陕西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 在复平面内, 复数z = 1 2 + i 对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合A = {x ∈Z | |x −3| < 2}, 则集合 ∁UA 等于 ( ) 5分
   A. {1, 2, 3, 4} B. {2, 3, 4} C. {1, 5} D. {5}
3. 3. 抛物线y = x2 的准线方程是 ( ) 5分
   A. 4y + 1 = 0 B. 4x + 1 = 0 C. 2y + 1 = 0 D. 2x + 1 = 0
4. 4. 已知sin α = √ 5 5 , 则sin4 α −cos4 α 的值为 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. −1 B. −3 C. 1 D. 3
5. 5. 各项均为正数的等比数列{an} 的前n 项和为Sn. 若Sn = 2, S3n = 14, 则S4n 等于 ( ) 5分
   A. 80 B. 30 C. 26 D. 16
6. 6. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上, 其中底面的三个顶点在 该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是 ( ) √ 3 4 (B) √ 3 3 (C) √ 3 4 (D) √ 3 12 5分
   A. 3
7. 7. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0), 以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 ( ) (A) √ ab (B) √ a2 + b2 5分
   C. a D. b
8. 8. 若函数f(x) 的反函数f −1(x), 则函数f(x −1) 与f −1(x −1) 的图象可能 是 ( ) (A) x 2 1 y 1 2 O (B) x 2 1 y 1 2 O (C) x 2 1 y 1 2 O (D) x 2 1 y 1 2 O 5分
9. 9. 给出如下三个命题: ①四个非零实数a, b, c, d 依次成等比数列的充要条件是ad = bc; ②设a, b ∈R, 且ab̸ = 0, 若a ③若f(x) = log2 x, 则f(|x|) 是偶函数. 其中不正确的序号是 ( ) 5分
   B. < 1, 则b A. > 1; A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③
10. 10. 已知平面α 平面β, 直线m ⊂α, 直线n ⊂β, 点A ∈m, 点B ∈n, 记 点A、B 之间的距离为a, 点A 到直线n 的距离为b, 直线m 和n 的距离 为c, 则 ( ) 5分
    A. b ⩽c ⩽a B. a ⩽c ⩽b C. c ⩽a ⩽b D. c ⩽b ⩽a
11. 11. f(x) 是定义在(0, +∞) 上的非负可导函数, 且满足xf ′(x) + f(x) ⩽0. 对 任意正数a, b, 若a < b, 则必有 ( ) 5分
    A. af(b) ⩽bf(a) (B) bf(a) ⩽af(b) (C) af(a) ⩽f(b) (D) bf(b) ⩽f(a)
12. 12. 设集合S = {A0, A1, A2, A3}, 在S 上定义运算⊕为: Ai ⊕Aj = Ak, 其中 k 为i+j 被4 除的余数, i, j = 0, 1, 2, 3. 则满足关系式(x⊕x)⊕A2 = A0 的x (x ∈S) 的个数为 ( ) 5分
    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. lim x→1 ( 2x + 1 x2 + x −2 − 1 x −1 ) = . 5分
2. 2. 已知实数x, y 满足条件        x −2y + 4 ⩾0, 2x + y −2 ⩾0, 3x −y −3 ⩽0, 则z = x + 2y 的最大值 为 . 5分
3. 3. 如图, 平面内有三个向量# » OA, # » OB, # » OC, 其中# » OA 与# » OB 的夹角为120◦, # » OA 与# » OC 的夹角为30◦, 且 # » OA  = # » OB  = 1, # » OC  = 2 √ 3. 若 # » OC = λ# » OA + µ# » OB (λ, µ ∈R), 则λ + µ 的值为 . A O B C 5分
4. 4. 安排3 名支教教师去6 所学校任教, 每校至多2 人, 则不同的分配方案共 有 . 种. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = a · b, 其中向量a = (m, cos 2x), b = (1 + sin 2x, 1), x ∈R, 且函数y = f(x) 的图象经过点 (π 4 , 2 ) . (1) 求实数m 的值; (2) 求函数f(x) 的最小值及此时x 值的集合.
2. 2. 某项选拔共有三轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进入下一 轮考核, 否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概 率分别为4 5、3 5、2 5, 且各轮问题能否正确回答互不影响. (1) 求该选手被淘汰的概率; (2) 该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ, 求随机变量ξ 的分布列与数学 期望. 401
3. 3. 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中, AD BC, ∠ABC = 90◦, PA ⊥平面ABCD, PA = 4, AD = 2, AB = 2 √ 3, BC = 6. (1) 求证: BD ⊥平面PAC; (2) 求二面角A −PC −D 的大小. A P E B C D
4. 4. 设函数f(x) = ex x2 + ax + a, 其中a 为实数. (1) 若f(x) 的定义域为R, 求a 的取值范围; (2) 当f(x) 的定义域为R 时, 求f(x) 的单调减区间.
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 6 3 , 短轴一个端点到 右焦点的距离为 √ 3. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设直线l 与椭圆C 交于A, B 两点, 坐标原点O 到直线l 的距离为 √ 3 2 , 求△AOB 面积的最大值.
6. 6. 已知各项全不为零的数列{ak} 的前k 项和为Sk, 且Sk = 1 2akak+1 (k ∈ N∗), 其中a1 = 1. (1) 求数列{ak} 的通项公式; (2) 对任意给定的正整数n (n ⩾2), 数列{bk} 满足bk+1 bk = k −n ak+1 (k = 1, 2, · · · , n −1), b1 = 1. 求b1 + b2 + · · · + bn. 402

原卷配图（含真实几何/应用题图示）