2008年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年上海（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. 不等式|x −1| < 1 的解集是 . 5分
2. 2. 若集合A = {x | x ⩽2}、B = {x | x ⩾a} 满足A ∩B = {2}, 则实数 . 5分
   A. =
3. 3. 若复数z 满足z = i(2 −z) (i 是虚数单位), 则z = . 5分
4. 4. 若函数f(x) 的反函数为f −1(x) = log2 x, 则f(x) = . 5分
5. 5. 若向量a、b 满足|a| = 1, |b| = 2, 且a 与b 的夹角为π 3 , 则|a+b| = . 5分
6. 6. 若直线ax −y + 1 = 0 经过抛物线y2 = 4x 的焦点, 则实数a = . 5分
7. 7. 若z 是实系数方程x2 + 2x + p = 0 的一个虚根, 且|z| = 2, 则p = . 5分
8. 8. 在平面直角坐标系中, 从五个点: A(0, 0)、B(2, 0)、C(1, 1)、D(0, 2)、E(2, 2) 中任取三个, 这三点能构成三角形的概率是 . (结果用分数表示) 5分
9. 9. 若函数f(x) = (x + a)(bx + 2a) (常数a, b ∈R) 是偶函数, 且它的值域为 (−∞, 4], 则该函数的解析式f(x) = . 5分
10. 10. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2, 3, 3, 7, a, b,12, 13.7, 18.3, 20, 且总体的中位数为10.5. 若要使该总体的方差最小, 则a、b 的取值分别 是 . 5分
11. 11. 在平面直角坐标系中, 点A、B、C 的坐标分别为(0, 1)、(4, 2)、(2, 6). 如 果P(x, y) 是△ABC 围成的区域(含边界) 上的点, 那么当w = xy 取到 最大值时, 点P 的坐标是 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设P 是椭圆x2 25 + y2 16 = 1 上的点. 若F1、F2 是椭圆的两个焦点, 则 |PF1| + |PF2| 等于 ( ) 5分
   A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
2. 2. 给定空间中的直线l 及平面α, 条件“直线l 与平面α 内无数条直线都垂 直”是“直线l 与平面α 垂直”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 3. 若数列{an} 是首项为1, 公比为a −3 2 的无穷等比数列, 且{an} 各项的 和为a, 则a 的值是 ( ) 2 4 5分
   A. 1 B. 2 C. 1 D. 5
4. 4. 如图, 在平面直角坐标系中, Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别 相切于点C、D 的定圆所围成区域(含边界), A、B、C、D 是该圆的四等 分点. 若点P(x, y)、点P ′(x′, y′) 满足x ⩽x′ 且y ⩾y′, 则称P 优于P ′. 如果Ω中的点Q 满足: 不存在Ω中的其它点优于Q, 那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 ( ) x y O Ω A C B D AB BC CD DA 5分
   A. ˜ B. ¯ C. ¯ D. ¯

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E 是BC1 的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小. (结果用反三角函数表示) A B E C D A1 B1 C1 D1
2. 2. 如图, 某住宅小区的平面图呈扇形AOC. 小区的两个出入口设置在点A 及点C 处, 小区里有两条笔直的小路AD、DC, 且拐弯处的转角为120◦. 已知某人从C 沿CD 走到D 用了10 分钟, 从D 沿DA 走到A 用了6 分钟. 若此人步行的速度为每分钟50 米, 求该扇形的半径OA 的长. (精 确到1 米) A O C D 120◦
3. 3. 已知函数f(x) = sin 2x, g(x) = cos ( 2x + π 6 ) , 直线x = t (t ∈R) 与函数 f(x)、g(x) 的图象分别交于M、N 两点. (1) 当t = π 4 时, 求|MN| 的值; (2) 求|MN| 在t ∈ [ 0, π 2 ] 时的最大值. 481
4. 4. 已知函数f(x) = 2x − 1 2|x| . (1) 若f(x) = 2, 求x 的值; (2) 若2tf(2t) + mf(t) ⩾0 对于t ∈[1, 2] 恒成立, 求实数m 的取值范围.
5. 5. 已知双曲线C: x2 2 −y2 = 1. (1) 求双曲线C 的渐近线方程; (2) 已知点M 的坐标为(0, 1). 设P 是双曲线C 上的点, Q 是点P 关于 原点的对称点. 记λ = # » MP · # » MQ, 求λ 的取值范围; (3) 已知点D、E、M 的坐标分别为(−2, −1)、(2, −1)、(0, 1), P 为双曲 线C 上在第一象限内的点. 记l 为经过原点与点P 的直线, s 为△DEM 截直线l 所得线段的长. 试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数.
6. 6. 已知数列{an}: a1 = 1, a2 = 2, a3 = r, an+3 = an + 2 (n 是正整数), 与 数列{bn}: b1 = 1, b2 = 0, b3 = −1, b4 = 0, bn+4 = bn (n 是正整数). 记 Tn = b1a1 + b2a2 + b3a3 + · · · + bnan. (1) 若a1 + a2 + a3 + · · · + a12 = 64, 求r 的值; (2) 求证: 当n 是正整数时, T12n = −4n; (3) 已知r > 0, 且存在正整数m, 使得在T12m+1, T12m+2, · · · , T12m+12 中 有4 项为100, 求r 的值, 并指出哪4 项为100. 482

原卷配图（含真实几何/应用题图示）