2008年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年上海（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. 不等式|x −1| < 1 的解集是 . 5分
2. 2. 若集合A = {x | x ⩽2}、B = {x | x ⩾a} 满足A ∩B = {2}, 则实数 . 5分
   A. =
3. 3. 若复数z 满足z = i(2 −z) (i 是虚数单位), 则z = . 5分
4. 4. 若函数f(x) 的反函数为f −1(x) = x2 (x > 0), 则f(4) = . 5分
5. 5. 若向量a、b 满足|a| = 1, |b| = 2, 且a 与b 的夹角为π 3 , 则|a+b| = . 5分
6. 6. 函数f(x) = √ 3 sin x + sin (π 2 + x ) 的最大值是 . 5分
7. 7. 在平面直角坐标系中, 从六个点: A(0, 0)、B(2, 0)、C(1, 1)、D(0, 2)、E(2, 2)、 F(3, 3) 中任取三个, 这三点能构成三角形的概率是 . (结果用分数表 示) 5分
8. 8. 设函数f(x) 是定义在R 上的奇函数. 若当x ∈(0, +∞) 时, f(x) = lg x, 则满足f(x) > 0 的x 的取值范围是 . 5分
9. 9. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2, 3, 3, 7, a, b,12, 13.7, 18.3, 20, 且总体的中位数为10.5. 若要使该总体的方差最小, 则a、b 的取值分别 是 . 5分
10. 10. 某海域内有一孤岛, 岛四周的海平面(视为平面) 上有一浅水区(含边界), 其边界是长轴长为2a, 短轴长为2b 的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔 高度分别为h1、h2, 且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个 焦点上, 现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计), 在船上测得甲、乙导 航灯的仰角分别为θ1、θ2, 那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 5分
11. 11. 方程x2+ √ 2x−1 = 0 的解可视为函数y = x+ √ 2 的图象与函数y = 1 x 的 图象交点的横坐标. 若x4 + ax −4 = 0 的各个实根x1, x2, · · · , xk (k ⩽4) 所对应的点 ( xi, 4 xi ) (i = 1, 2, · · · , k) 均在直线y = x 的同侧, 则实数a 的取值范围是 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 组合数Cr n (n > r ⩾1, n、r ∈Z) 恒等于 ( ) n + 1Cr−1 n−1 n−1 n−1 r Cr−1 n−1 5分
   A. r + 1 B. (n + 1)(r + 1)Cr−1 C. nrCr−1 D. n
2. 2. 给定空间中的直线l 及平面α, 条件“直线l 与平面α 内无数条直线都垂 直”是“直线l 与平面α 垂直”的 ( ) 5分
   A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 3. 若数列{an} 是首项为1, 公比为a −3 2 的无穷等比数列, 且{an} 各项的 和为a, 则a 的值是 ( ) 2 4 5分
   A. 1 B. 2 C. 1 D. 5
4. 4. 如图, 在平面直角坐标系中, Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别 相切于点C、D 的定圆所围成区域(含边界), A、B、C、D 是该圆的四等 分点. 若点P(x, y)、点P ′(x′, y′) 满足x ⩽x′ 且y ⩾y′, 则称P 优于P ′. 如果Ω中的点Q 满足: 不存在Ω中的其它点优于Q, 那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 ( ) x y O Ω A C B D AB BC CD DA 5分
   A. ˜ B. ¯ C. ¯ D. ¯

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E 是BC1 的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小. (结果用反三角函数表示) A B E C D A1 B1 C1 D1
2. 2. 如图, 某住宅小区的平面图呈圆心角为120◦的扇形AOB. 小区的两个出 入口设置在点A 及点C 处, 且小区里有一条平行于BO 的小路CD, 已知 某人从C 沿CD 走到D 用了10 分钟, 从D 沿DA 走到A 用了6 分钟, 若此人步行的速度为每分钟50 米, 求该扇形的半径OA 的长. (精确到1 米) A B O C D
3. 3. 已知函数f(x) = sin 2x, g(x) = cos ( 2x + π 6 ) , 直线x = t (t ∈R) 与函数 f(x)、g(x) 的图象分别交于M、N 两点. (1) 当t = π 4 时, 求|MN| 的值; (2) 求|MN| 在t ∈ [ 0, π 2 ] 时的最大值. 479
4. 4. 已知函数f(x) = 2x − 1 2|x| . (1) 若f(x) = 2, 求x 的值; (2) 若2tf(2t) + mf(t) ⩾0 对于t ∈[1, 2] 恒成立, 求实数m 的取值范围.
5. 5. 设P(a, b) (b̸ = 0) 是平面直角坐标系xOy 中的点, l 是经过原点与点(1, b) 的直线, 记Q 是直线l 与抛物线x2 = 2py (p̸ = 0) 的异于原点的交点. (1) 已知a = 1, b = 2, p = 2, 求点Q 的坐标; (2) 已知点P(a, b) (ab̸ = 0) 在椭圆x2 4 + y2 = 1 上, p = 1 2ab, 求证: 点Q 落在双曲线4x2 −4y2 = 1 上; (3) 已知动点P(a, b) 满足ab̸ = 0, p = 1 2ab, 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上, 试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上, 并说明理由.
6. 6. 已知以a1 为首项的数列{an} 满足: an+1 =    an + c, an < 3, an an ⩾3. (1) 当a1 = 1, c = 1, d = 3 时, 求数列{an} 的通项公式; (2) 当0 < a1 < 1, c = 1, d = 3 时, 试用a1 表示数列{an} 的前100 项的 和S100; (3) 当0 < a1 < 1 m (m 是正整数), c = 1 m, 正整数d ⩾3m 时, 求证: 数列 a2 −1 m, a3m+2 −1 m, a6m+2 −1 m, a9m+2 −1 m 成等比数列当且仅当d = 3m. 480

原卷配图（含真实几何/应用题图示）