本卷为官方高考数学真题（2008年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
选择题（每题 5 分）（共 8 题）
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1. 若集合A = {x | −2 ⩽x ⩽3}, B = {x | x < −1 或x > 4}, 则集合A ∩B
等于
(
) 5分
A. {x | x ⩽3 或x > 4}
B. {x | −1 < x ⩽3}
C. {x | 3 ⩽x < 4}
D. {x | −2 ⩽x < −1}
-
2. 若a = log3 π5分
A. a > b > c
B. b > a > c
C. c > a > b
D. b > c > a
-
3. “双曲线的方程为x2
9 −y2
16 = 1”是“双曲线的准线方程为x = ±9
5”的
(
) 5分
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
4. 已知△ABC 中, a =
√
2, b =
√
3, B = 60◦, 那么角A 等于
(
) 5分
A. 135◦
B. 90◦
C. 45◦
D. 30◦
-
5. 函数f(x) = (x −1)2 + 1 (x < 1) 的反函数为
(
) 5分
A. f −1(x) = 1 + √x −1 (x > 1)
B. f −1(x) = 1 −√x −1 (x > 1)
C. f −1(x) = 1 + √x −1 (x ⩾1)
D. f −1(x) = 1 −√x −1 (x ⩾1)
-
6. 若实数x, y 满足
x −y + 1 ⩾0,
x + y ⩾0,
x ⩽0,
则z = x + 2y 的最小值是
(
)
2 5分
A. 0
B. 1
C. 1
D. 2
-
7. 已知等差数列{an} 中, a2 = 6, a5 = 15, 若bn = a2n, 则数列{bn} 的前5
项和等于
(
) 5分
A. 30
B. 45
C. 90
D. 186
-
8. 如图, 动点P 在正方体ABCD −A1B1C1D1 的对角线BD1 上. 过点P
作垂直于平面BB1D1D 的直线, 与正方体表面相交于MN. 设BP = x,
MN = y, 则函数y = f(x) 的图象大致是
(
)
A
B
C
P
M
N
D
A1
B1
C1
D1
(A)
x
y
O
(B)
x
y
O
(C)
x
y
O
(D)
x
y
O 5分
填空题（每题 5 分）（共 6 题）
-
1. 若角α 的终边经过点P(1, −2), 则tan 2α 的值为
. 5分
-
2. 不等式x −1
x + 2 > 1 的解集是
. 5分
-
3. 已知向量a 与b 的夹角为120◦, 且|a| = |b| = 4, 那么a · b 的值为
. 5分
-
4. (
x2 + 1
x3
)5
的展开式中常数项为
; 各项系数之和为
. (用数
字作答) 5分
-
5. 如图, 函数f(x) 的图象是折线段ABC, 其中A, B, C 的坐标分别为
(0, 4), (2, 0), (6, 4), 则f(f(0)) =
; 函数f(x) 在x = 1 处的导数
.
C
A
B
O
1
2
3
4
5
6
x
4
1
2
3
y 5分
F. ′(1) =
-
6. 已知函数f(x) = x2 −cos x, 对于
[
−π
2 , π
2
]
上的任意x1, x2, 有如下条件:
①x1 > x2; ②x2
1 > x2
2; ③|x1| > x2. 其中能使f(x1) > f(x2) 恒成立的
条件序号是
. T(a) 表示非负实数a 的整数部分, 例如T(2.6) = 2,
T(0.2) = 0. 按此方案, 第6 棵树种植点的坐标应为
; 第2008 棵树
种植点的坐标应为
. 5分
解答题（分值见原卷）（共 6 题）
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1. 已知函数f(x) = sin2ωx +
√
3 sin ωx sin
(
ωx + π
2
)
(ω > 0) 的最小正周期
为π.
(1) 求ω 的值;
(2) 求函数f(x) 在区间
[
0, 2π
3
]
上的取值范围.
-
2. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, AC = BC = 2, ∠ACB = 90◦, AP = BP =
AB, PC ⊥AC.
(1) 求证: PC ⊥AB;
(2) 求二面角B −AP −C 的大小.
A
B
C
P
-
3. 已知函数f(x) = x3 + ax2 + 3bx + c (b̸ = 0), 且g(x) = f(x) −2 是奇函数.
(1) 求a, c 的值;
(2) 求函数f(x) 的单调区间.
427
-
4. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A, B, C, D 四个不同的岗位服务,
每个岗位至少有一名志愿者.
(1) 求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率;
(2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.
-
5. 已知△ABC 的顶点A, B 在椭圆x2 + 3y2 = 4 上, C 在直线l: y = x + 2
上, 且AB
l.
(1) 当AB 边通过坐标原点O 时, 求AB 的长及△ABC 的面积;
(2) 当∠ABC = 90◦, 且斜边AC 的长最大时, 求AB 所在直线的方程.
-
6. 数列{an} 满足a1 = 1, an+1 = (n2 + n −λ)an (n = 1, 2, · · · ), λ 是常数.
(1) 当a2 = −1 时, 求λ 及a1 的值;
(2) 数列{an} 是否可能为等差数列? 若可能, 求出它的通项公式; 若不可
能, 说明理由;
(3) 求λ 的取值范围, 使得存在正整数m, 当n > m 时总有an < 0.
428
原卷配图（含真实几何/应用题图示）
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