2008年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知全集U = R, 集合A = {x | −2 ⩽x ⩽3}, B = {x|x < −1 或x > 4}, 那么集合A ∩ ( ∁UB ) 等于 ( ) 5分
   A. {x | −2 ⩽x < 4} B. {x | x ⩽3 或x ⩾4} C. {x | −2 ⩽x < −1} D. {x | −1 ⩽x ⩽3}
2. 2. 若a = 20.5, b = logπ3, c = log2 sin 2π 5 , 则 ( ) 5分
   A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a
3. 3. “函数f(x) (x ∈R) 存在反函数”是“函数f(x) 在R 上为增函数”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 若点P 到直线x = −1 的距离比它到点(2, 0) 的距离小1, 则点P 的轨迹 为 ( ) 5分
   A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
5. 5. 若实数x, y 满足        x −y + 1 ⩾0, x + y ⩾0, x ⩽0, 则z = 3x+2y 的最小值是 ( ) (C) √ 3 5分
   A. 0 B. 1 D. 9
6. 6. 已知数列{an} 对任意的p, q ∈N∗满足ap+q = ap + aq, 且a2 = −6, 那么 a10 等于 ( ) 5分
   A. −165 B. −33 C. −30 D. −21
7. 7. 过直线y = x 上的一点作圆(x −5)2 + (y −1)2 = 2 的两条切线l1, l2, 当 直线l1, l2 关于y = x 对称时, 它们之间的夹角为 ( ) 5分
   A. 30◦ B. 45◦ C. 60◦ D. 90◦
8. 8. 如图, 动点P 在正方体ABCD −A1B1C1D1 的对角线BD1 上. 过点P 作垂直于平面BB1D1D 的直线, 与正方体表面相交于MN. 设BP = x, MN = y, 则函数y = f(x) 的图象大致是 ( ) A B C P M N D A1 B1 C1 D1 (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知(a −i)2 = 2i, 其中i 是虚数单位, 那么实数a = . 5分
2. 2. 已知向量a 与b 的夹角为120◦, 且|a| = |b| = 4, 那么b · (2a + b) 的值 为 . 5分
3. 3. 若 ( x2 + 1 x3 )n 展开式的各项系数之和为32, 则n = , 其展开式中 的常数项为 . (用数字作答) 5分
4. 4. 如图, 函数f(x) 的图象是折线段ABC, 其中A, B, C 的坐标分别为(0, 4), (2, 0), (6, 4), 则f(f(0)) = ; lim ∆x→0 f(1 + ∆x) −f(1) ∆x = . (用数 字作答) C A B O 1 2 3 4 5 6 x 4 1 2 3 y 5分
5. 5. 已知函数f(x) = x2 −cos x, 对于 [ −π 2 , π 2 ] 上的任意x1, x2, 有如下条件: ①x1 > x2; ②x2 1 > x2 2; ③|x1| > x2. 其中能使f(x1) > f(x2) 恒成立的条 件序号是 . 5分
6. 6. 某校数学课外小组在坐标纸上, 为学校的一块空地设计植树方案如下: 第 k 棵树种植在点Pk(xk, yk) 处, 其中x1 = 1, y1 = 1, 当k ⩾2 时,        xk = xk−1 + 1 −5 [ T (k −1 5 ) −T (k −2 5 )] , yk = yk−1 + T (k −1 5 ) −T (k −2 5 ) . T(a) 表示非负实数a 的 整数部分, 例如T(2.6) = 2, T(0.2) = 0. 按此方案, 第6 棵树种植点的坐标 应为 ; 第2008 棵树种植点的坐标应为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = sin2ωx + √ 3 sin ωx sin ( ωx + π 2 ) (ω > 0) 的最小正周期 为π. (1) 求ω 的值; (2) 求函数f(x) 在区间 [ 0, 2π 3 ] 上的取值范围.
2. 2. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, AC = BC = 2, ∠ACB = 90◦, AP = BP = AB, PC ⊥AC. (1) 求证: PC ⊥AB; (2) 求二面角B −AP −C 的大小; (3) 求点C 到平面APB 的距离. A B C P
3. 3. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A, B, C, D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一名志愿者. (1) 求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; (2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3) 设随机变量ξ 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数, 求ξ 的分布 列. 425
4. 4. 已知函数f(x) = 2x −b (x −1)2 , 求导函数f ′(x), 并确定f(x) 的单调区间.
5. 5. 已知菱形ABCD 的顶点A, C 在椭圆x2 + 3y2 = 4 上, 对角线BD 所在 直线的斜率为1. (1) 当直线BD 过点(0, 1) 时, 求直线AC 的方程; (2) 当∠ABC = 60◦时, 求菱形ABCD 面积的最大值.
6. 6. 对于每项均是正整数的数列A: a1, a2, · · · , an, 定义变换T1, T1 将数 列A 变换成数列T1(A): n, a1 −1, a2 −1, · · · , an −1. 对于每项 均是非负整数的数列B: b1, b2, · · · , bm, 定义变换T2, T2 将数列B 各项从大到小排列, 然后去掉所有为零的项, 得到数列T2(B); 又定义 S(B) = 2(b1 + 2b2 + · · · + mbm) + b2 1 + b2 2 + · · · + b2 m. 设A0 是每项均 为正整数的有穷数列, 令Ak+1 = T2(T1(Ak)) (k = 0, 1, 2, · · · ). (1) 如果数列A0 为5,3,2, 写出数列A1, A2; (2) 对于每项均是正整数的有穷数列A, 证明S(T1(A)) = S(A); (3) 证明: 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0, 存在正整数K, 当k ⩾K 时, S(Ak+1) = S(Ak). 426

原卷配图（含真实几何/应用题图示）