1. 01
1
n
n
−
<
+
的解集为
（A）{ |
n n ≥199，
*}
n
N
∈
（B）{ |
n n ≥200，
*}
n
N
∈
（C）{ |
n n ≥201，
*}
n
N
∈
（D）{ |
n n ≥202，
*}
n
N
∈
（5）已知
1
tan
2
α =
，则
2
(sin
cos
)
cos2
α
α
α
+
=
（A）2 （B）2
− （C）3 （D）3
−
（6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体
积的比值为
（A）8 3
3
π （B）
3
6
π （C）
3
2
π （D）8 3π
（7）若点
(2,0)
P
到双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
−
= 的一条淅近线的距离为
2 ，则双
曲线的离心率为
（A）
2 （B）3 （C）2 2 （D）2 3
（8）在一次读书活动中，一同学从4 本不同的科技书和2 本不同的文艺
书中任选3 本，则
所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为
（A）1
5
（B）1
2
（C）2
3
（D）4
5
（9）过点(1,1) 的直线与圆
2
2
(
2)
(
3)
9
x
y
−
+
−
=
相交于
,
|
AB 的最小值为
（A）2 3 （B）4 （C）2 5 （D）5
（10）已知两个单位向量a
与b
的夹角为135°，则|
| 1
a
b
λ
+
>
的充要条件是
（A）
(0,
2)
λ ∈
（B）
(
2,0)
λ ∈−
（C）
(
,0)
( 2,
)
λ ∈−∞
+∞
（D）
(
,
2)
( 2,
)
λ ∈−∞−
+∞
（11）设函数
( )
y
=
(
)
x
R
∈
的图象关于直线
0
x =
及直线
1
x =
对称，且
[0,1]
x∈
时，
2
( )
x
=
，则
3
(
)
2
=
（A）1
2
（B）1
4
（C）3
4
（D）9
4
（12）一个正方体的展开图如图所示，
,
,
体一条棱的中点。在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的余弦值
为
（A）
5
10
（B）10
5
（C）
5
5
（D）10
10
二．填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分。把答案填在
题中模式横
线上。
（13）函数
1
1
x
y
=
− (
)
x
R
∈
的反函数为 。
（14）设等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
5
S
a
=
。若
4
0
，则
7
4
a
a = 。
（15）已知函数
( )
sin(
)
6
f x
x
π
ω
=
−
(
0)
ω >
在
4
(0,
)
3
π
单调增加，在4
(
,2 )
3
π
π 单调减少，则ω = 。
（16）已知
90
AOB
∠
=
° ，C 为空间中一点，且
60
AOC
BOC
∠
= ∠
=
° ，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦
值为 。
三．解答题：本大题共6 个小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12 分）在△ABC 中，内角
, ,
A B C 对边的边长分别是, ,
a b c ，已知
2
2
2
2
a
c
b
+
=
。
（Ⅰ）若
4
B
π
=
，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；
（Ⅱ）若
2
b =
，求△ABC 面积的最大值。
（18）（本小题满分12 分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类。检验员定时从该
生产线上任取2 件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2 件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需
要调整。已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9 ，0.05和0.05，且各件产
品的质量情况互不影响。
（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（Ⅱ）若检验员一天抽检3 次，以ξ 表示一天中需要调整设备的次数，求ξ 的分布列和数学期望。
（19）（本小题满分12 分）
如图，一张平行四边形的硬纸片
0
ABC D 中，
1
AD
BD
=
= ，
2
AB =
。沿它的对角线BD 把
△
0
BDC 折起，使点
0
C 到达平面
0
ABC D 外点C 的位置。
（Ⅰ）证明：平面
0
ABC D ⊥平面
0
CBC ；
（Ⅱ）如果△ABC 为等腰三角形，求二面角A
BD
C
−
−
的大小。
（20）（本小题满分12 分）在数列{
}
na
中，
1
1
a = ，
2
1
1
2
(1
)
na
a
n
+ =
+
（Ⅰ）求{
}
na
的通项公式；
（Ⅱ）令
1
1
2
n
n
n
b
a
a
+
=
−
，求数列{ }
nb
的前n 项和
n
S 。
（Ⅲ）求数列{
}
na
的前n 项和
nT 。
（21）（本小题满分12 分）
已知椭圆
1
C 的中心和抛物线
2
C 的顶点都在坐标原点O ，
1
C 和
2
C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且
1
C 的
长轴长、短轴长及点F 到
1
C 右准线的距离成等比数列。
（Ⅰ）当
2
C 的准线与
1
C 右准线间的距离为15时，求
1
C 及
2
C 的方程；
（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交
1
C 于P ，Q 两点，交
2
C 于M ，N 两点。当
36
|
|
7
PQ =
时，求|
|
MN 的值。
（22）（本小题满分14 分）
设函数
2
2
1
( )
2
x
f x
x
+
=
+
。
（Ⅰ）求
( )
f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切x
R
∈
，3
( )
3
af x
b
−≤
+
≤
，求a
b
−
的最大值。
参考答案
一．选择题：
（1）B
解：A 的子集共
3
2
8
=
个，含有元素0 的和不含元素0 的子集各占一半，有4 个．选B
（2）D
解：
(3
)(3
)
10(2
)
2(2
)
4
2
2
(2
)(2
)
i
i
i
z
i
i
i
i
i
+
−
+
=
=
=
+
=
+
−
−
+
2
2
|
|
4
2
2 5
z
⇒
=
+
=
（3）C
解：
4
1
2
2
3
3
4
4
4
1
1
(1
)(1
)
(1
)(1
)
x
C x
C x
C x
x
x
+
+
=
+
+
+
+
+
展开式中含
2x 项的系数为
2
3
4
4
10
C
C
+
=
（4）B
解：
2
2
2
2
0.01
1
1
200
n
n
n
−
=
<
=
+
+
*
200,
n
n
N
⇒
≥
∈
（5）C
解：
2
1
1
(sin
cos
)
sin
cos
1
tan
2
3
1
cos2
cos
sin
1
tan
1
2
α
α
α
α
α
α
α
α
α
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
，选C
（6）A
解： 设球的半径为r
3
1
4
3
V
r
π
⇒
=
；正三棱锥的底面面积
2
3
4
S
r
=
，
2
h
r
=
，
2
3
2
1
3
3
2
3
4
6
V
r
r
r
⇒
=
×
×
=
。所以
1
2
8 3
3
V
V
π
=
，选A
（7）A
解：设过一象限的渐近线倾斜角为α
2
sin
45
1
2
k
α
α
⇒
=
⇒
=
⇒
=
所以
b
y
x
x
a
= ±
= ±
a
b
⇒
=
，因此
2 ,
2
c
c
a e
a
=
=
=
，选A。
（8）D
解：因文艺书只有2 本，所以选3 本必有科技书。问题等价于选3 本书有文艺书的概率：
3
4
3
6
4
4
( )
1
( )
1
1
20
5
C
P A
P A
C
= −
= −
= −
=
（9）B
解： 弦心距最大为
2
2
(2 1)
(3 1)
5
−
+
−
=
，|
|
AB 的最小值为2 9
5
4
−
=
（10）C
解：
2
2
2
2
2
|
| 1
2
1
2
1 1 cos135
2
1
1
a
b
a
a b
b
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
> ⇔
+
+
= +
+
× × ×
=
−
+ >
2
2
0
0
2
λ
λ
λ
λ
⇔
−
>
⇔
<
>
或
，选C
（11）B
解：
2
3
3
1
1
1
1
1
(
)
( )
(1
)
(1
)
( )
( )
2
2
2
2
2
2
4
f
f
f
f
f
−
=
=
+
=
−
=
=
=
（12）D
解：还原正方体如右图所示设
1
AD =
,则
5
AB =
,
1,
AF =
2 2
BE
EF
=
=
,
3
AE =
, CD 与AB 所成角等于BE 与AB 所成角,
所以余弦值为
5
8
9
10
cos
10
2
5
2 2
ABE
+ −
∠
=
=
×
×
,选 D
二．填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分。把答案填在题中模式横线上。
（13）
解：
1
1
1
1
1
ln(
1)
x
x
y
e
e
y
x
y
+
+
=
−⇒
=
+ ⇒
+ =
+
，所以反函数
ln(
1) 1(
1)
y
x
x
=
+
−
> −
，
（14）
解：
5
5
1
2
3
4
1
4
2
3
0
0
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
⇒
+
+
+
=
⇒
+
=
+
=
，取特殊值
令
2
3
1,
1,
a
a
=
= −
4
3
a
⇒
= −
7
4
1
2
9
a
a
a
=
−
= −，所以
7
4
3
a
a =
（15）
解：由题意
4
4
(
)
sin(
)
1
3
3
6
f
π
π
πω
=
−
=
4
3
1
2
,
3
6
2
2
2
k
k
k
Z
π
π
πω
π
ω
⇒
−
=
+
⇒
=
+
∈
又
0
ω >
，令
0
k =
得
1
2
ω =
。（如
0
k >
，则
2
ω ≥
，T
π
≤
与已知矛盾）
（16）
解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在
AOB
∠
的平分线上作
DE
OA
⊥
于
E ，连结CE 则由三垂线定理CE
OE
⊥
，
设
1
DE =
1,
2
OE
OD
⇒
=
=
，又
60 ,
2
COE
CE
OE
OE
∠
=
⊥
⇒
=
,
所
以
2
sin
2
COD
∠
=
2
2
2
CD
OC
OD
=
−
=
，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值
三．解答题：
（17）
解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有
2
2
2
sin
sin
sin
1
A
C
B
+
=
= 。
故
2
2
sin
cos
C
A
=
。因A 为钝角，所以sin
cos
C
A
= −
。
由
cos
cos(
)
4
A
C
π
π
=
−
−
，可得
sin
sin(
)
4
C
C
π
=
−
，得
8
C
π
=
，
5
8
A
π
=
。
（Ⅱ）由余弦定理及条件
2
2
2
1 (
)
2
b
a
c
=
+
，有
2
2
cos
4
a
c
B
ac
+
=
，故cos B ≥
1
2 。
由于△ABC 面积
1
sin
2 ac
B
=
，
又ac ≤
2
2
1 (
)
4
2 a
c
+
=
，sin B ≤
3
2 ，
当a
c
=
时，两个不等式中等号同时成立，
所以△ABC 面积的最大值为
1
3
4
3
2
2
× ×
=
。
（18）
解：（Ⅰ）设
iA 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，
1,2.
i =
iB 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，
1,2.
i =
C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”。
则
1
2
1
2
1
2
C
A A
A B
B
A
=
⋅
+
⋅
+
⋅
。
由已知
(
)
0.9
i
P A =
，
(
)
0.05
i
P B
=
1,2.
i =
所以，所求的概率为
1
2
1
2
1
2
( )
(
)
(
)
(
)
P C
P A A
P A B
P B
A
=
⋅
+
⋅
+
⋅
2
0.9
2 0.9 0.05
0.9
=
+ ×
×
=
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为
( )
1 0.9
0.1
p
P C
=
= −
=
，依题意知
~
(3,0.1)
B
ξ
，ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
p
0．729
0．243
0．027
0．001
3 0.1
0.3
E
np
ξ =
= ×
=
。
（19）
解：（Ⅰ）证明：因为
0
1
AD
BC
BD
=
=
=
，
0
2
AB
C D
=
=
，
所以
0
90
DBC
∠
=
° ，
90
ADB
∠
=
° 。
因为折叠过程中，
0
90
DBC
DBC
∠
= ∠
=
° ，
所以DB
BC
⊥
，又
0
DB
BC
⊥
，故DB ⊥平面
0
CBC 。
又DB ⊂平面
0
ABC D ，所以平面
0
ABC D ⊥平面
0
CBC 。
（Ⅱ）解法一：如图，延长
0
C B 到E ，使
0
BE
C B
=
，连结AE ，CE 。
因为AD
BE ，
1
BE = ，
1
DB = ，
90
DBE
∠
=
° ，所以AEBD 为正方形，
1
AE =
。
由于AE ，DB 都与平面
0
CBC 垂直，所以AE
CE
⊥
，可知
1
AC >
。
因此只有
2
AC
AB
=
=
时，△ABC 为等腰三角形。
在Rt △AEC 中，
2
2
1
CE
AC
AE
=
−
= ，又
1
BC = ，
所以△CEB 为等边三角形，
60
CBE
∠
=
° 。
由（Ⅰ）可知，，所以
CBE
∠
为二面角A
BD
C
−
−
的平面角，即二面角A
BD
C
−
−
的大小为60°。
解法二：以D 为坐标原点，射线DA ，DB 分别为x 轴正半轴和y 轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系D
xyz
−
，
则
(1,0,0)
A
，
(0,1,0)
B
，
(0,0,0)
D
。
由（Ⅰ）可设点C 的坐标为( ,1, )
x
z ，其中
0
z >
，则有
2
2
1
x
z
+
= 。 ①
因为△ABC 为等腰三角形，所以
1
AC =
或
2
AC =
。
若
1
AC =
，则有
2
2
(
1)
1
1
x
z
−
+ +
= 。
则此得
1
x =
，
0
z =
，不合题意。
若
2
AC =
，则有
2
2
(
1)
1
2
x
z
−
+ +
=
。 ②
联立①和②得
1
2
x =
，
3
2
z =
。故点C 的坐标为
1
3
( ,1,
)
2
2
。
由于DA
BD
⊥
，BC
BD
⊥
，所以DA
与BC
夹角的大小等于二面角A
BD
C
−
−
的大小。
又
(1,0,0)
DA =
，
1
3
( ,0,
)
2
2
BC =
，
1
cos
,
.
2
|
||
|
DA BC
DA BC
DA BC
⋅
<
>=
=
所以
,
60
DA BC
<
>=
°
即二面角A
BD
C
−
−
的大小为60°。
（20）
解：（Ⅰ）由条件得
1
2
2
1
(
1)
2
n
n
a
a
n
n
+
=
⋅
+
，又
1
n =
时，
2
1
na
n =
，
故数列
2
{
}
na
n
构成首项为1，公式为
1
2 的等比数列．从而
2
1
1
2
n
n
a
n
−
=
，即
2
1
2
n
n
n
a
−
=
．
（Ⅱ）由
2
2
(
1)
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
b
+
+
=
−
=
得
2
3
5
2
1
2
2
2
n
n
n
S
+
=
+
+
+
，
2
3
1
1
3
5
2
1
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
+
−
+
⇒
=
+
+
+
+
，
两式相减得 ：
2
3
1
1
3
1
1
1
2
1
2(
)
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
S
+
+
=
+
+
+
+
−
， 所以
2
5
5
2
n
n
n
S
+
=
−
．
（Ⅲ）由
2
3
1
1
2
1
(
)
(
)
2
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
+
=
+
+
+
−
+
+
+
得
1
1
1
2
n
n
n
n
T
a
a
T
S
+
−
+
−
=
所以
1
1
2
2
2
n
n
n
T
S
a
a +
=
+
−
2
1
4
6
12
2n
n
n
−
+
+
=
−
．
（21）（
解：（Ⅰ）设
1
C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
(
0)
a
b
>
>
，其半焦距为c (
0)
c >
．则
2
C ：
2
4
y
cx
=
．
由条件知
2
2
(2 )
2 (
)
a
b
a
c
c
=
−
，得
2
a
c
=
．
1
C 的右准线方程为
2
a
x
c
=
，即
4
x
c
=
．
2
C 的准线方程为x
c
= −．
由条件知5
15
c =
， 所以
3
c =
，故
6
a =
，
3 3
b =
．
从而
1
C ：
2
2
1
36
27
x
y
+
=
，
2
C ：
2
12
y
x
=
．
（Ⅱ）由题设知l ：y
x
c
=
−
，设
1
1
( ,
)
M x y
，
2
2
(
,
)
N x
y
，
3
3
(
,
)
P x
y
，
4
4
(
,
)
Q x
y
．
由（Ⅰ）知
2
2
1
2
2
:
1
4
3
x
y
C
c
c
+
=
，即
2
2
2
3
4
12
x
y
c
+
=
由
2
2
2
3
4
12
x
y
c
y
x
c
+
=
=
−
， 知
3
4
,
x x 满足
2
2
7
8
8
0
x
cx
c
−
−
=
，
从而
2
2
3
4
3
4
3
4
24
(
)
(
)
2
7
PQ
x
x
y
y
x
x
c
=
−
+
−
=
−
=
由条件
36
7
PQ =
,得
3
2
c =
， 故
2
C ：
2
6
y
x
=
．
由
2
6
3
2
y
x
y
x
=
=
−
得
2
9
9
0
4
x
x
−
+
=
，所以
1
2
9
x
x
+
=
于是
1
2 2
12
MN
MF
FN
x
x
c
=
+
=
+
+
=
（22）
解：（Ⅰ）
'
2
2
2
2
1
2(
2)(
1)
( )
2
(
2)
x
x
x
f
x
x
x
+
−
+
−
=
=
+
+
，
当
( 2,1)
x∈−
时，
'( )
0
f
x >
；当
(
, 2)
(1,
)
x∈−∞−
+∞
时，
'( )
0
f
x >
；
故
( )
f x 在( 2,1)
−
单调增加，在(
, 2)
(1,
)
−∞−
+∞
单调减少。
( )
f x 的极小值
1
( 2)
2
f −
= −
，极大值
(1)
1
f
=
（Ⅱ）由
2
2
2
2
1
(
2) (
1)
( ( )
)( (1) 1)
2
2(
2)
x
x
f x
f
x
−
+
−
+
−
=
+
知
1
( ( )
)( (1) 1)
0
2
f x
f
+
−
≤
即
1
( )
1
2
f x
−
≤
≤
由此及（Ⅰ）知
( )
f x 的最小值为
1
2
−
，最大值为1
因此对一切x
R
∈
，3
( )
3
af x
b
−≤
+
≤
的充要条件是，
1
3
3
2
3
3
a
b
a
b
−≤−
+
≤
−≤
+
≤
即a ，b 满足约束条件
3
3
1
3
2
1
3
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
≥−
+
≤
−
+
≥−
−
+
≤
，由线性规划得，a
b
−
的最大值为5．
评论（0）
请登录后发表评论。