2008年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年四川（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, 则 ∁U (A ∩B) = ( ) 5分
   A. {2, 3} B. {1, 4, 5} C. {4, 5} D. {1, 5}
2. 2. 函数y = ln(2x + 1) ( x > −1 2 ) 的反函数是 ( ) 2ex −1 (x ∈R) 2(ex −1) (x ∈R) x 2 −1 (x ∈R) 5分
   A. y = 1 B. y = e2x −1 (x ∈R) C. y = 1 D. y = e
3. 3. 设平面向量a = (3, 5), b = (−2, 1), 则a −2b = ( ) 5分
   A. (7, 3) B. (7, 7) C. (1, 7) D. (1, 3)
4. 4. (tan x + cot x) cos2x = ( ) 5分
   A. tan x B. sin x C. cos x D. cot x
5. 5. 不等式|x2 −x| < 2 的解集为 ( ) 5分
   A. (−1, 2) B. (−1, 1) C. (−2, 1) D. (−2, 2)
6. 6. 直线y = 3x 绕原点逆时针旋转900, 再向右平移1 个单位, 所得到的直线 为 ( ) 3x + 1 3 (B) y = −1 3x + 1 (C) y = 3x −3 5分
   A. y = −1 D. y = 3x + 1
7. 7. △ABC 的三个内角A、B、C 的对边边长分别是a、b、c. 若a = √ 5 2 b, ( ) (A) √ 5 3 (B) √ 5 4 (C) √ 5 5 (D) √ 5 6 5分
   A. = 2B, 则cos B =
8. 8. 设M 是球O 的半径OP 的中点, 分别过M、O 作垂直于OP 的平面, 截 球面得到两个圆, 则这两个圆的面积比值为 ( ) 4 2 3 4 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
9. 9. 设定义在R 上的函数f (x) 满足f (x) · f (x + 2) = 13, 若f (1) = 2, 则 ( ) 2 13 5分
   F. (99) = A. 13 B. 2 C. 13 D. 2
10. 10. 设直线l ⊂平面α, 过平面α 外一点A 与l, α 都成30◦角的直线有且只 有 ( ) 5分
    A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
11. 11. 已知双曲线C: x2 9 −y2 16 = 1 的左、右焦点分别为F1、F2, P 为C 的右支 上一点, 且|PF2| = |F1F2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( ) 5分
    A. 24 B. 36 C. 48 D. 96
12. 12. 若三棱柱的一个侧面是边长为2 的正方形, 另外两个侧面都是有一个内角 为60◦的菱形, 则该棱柱的体积为 ( ) (A) √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 5分
    B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (1 + 2x)3(1 −x)4 展开式中x 的系数为 . 5分
2. 2. 已知直线l: x −y + 4 = 0 与圆C: (x −1)2 + (y −1)2 = 2, 则C 上各点 到l 的距离的最小值为 . 5分
3. 3. 从甲、乙等10 名同学中挑选4 名参加某项公益活动, 要求甲、乙中至少有 1 人参加, 则不同的挑选方法有 种. 5分
4. 4. 设数列{an} 中, a1 = 2, an+1 = an + n + 1, 则通项an = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 求函数y = 7 −4 sin x cos x + 4cos2x −4cos4x 的最大值与最小值.
2. 2. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5, 购买乙种商品的 概率为0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立, 各顾客之间购买商 品是相互独立的. (1) 求进入商场的1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2) 求进入该商场的3 位顾客中, 至少有2 位顾客既未购买甲种也未购买 乙种商品的概率.
3. 3. 如图, 平面ABEF ⊥平面ABCD, 四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯 形, ∠BAD = ∠FAB = 90◦, BC 1 2AD, BE 1 2AF, G、H 分别是FA、 FD 的中点. (1) 证明: 四边形BCHG 是平行四边形; (2) C、D、E、F 四点是否共面? 为什么? (3) 设AB = BE. 证明: 平面ADE ⊥平面CDE. A G H B C D F E 485
4. 4. 设x = 1 和x = 2 是函数f(x) = x5 + ax3 + bx + 1 的两个极值点. (1) 求a 和b 的值; (2) 求f(x) 的单调区间.
5. 5. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = 2an −2n. (1) 求a3, a4; (2) 证明: 数列{an+1 −2an} 是等比数列; (3) 求{an} 的通项公式.
6. 6. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 离心率 √ 2 2 , 点F2 到右准线l 的距离为 √ 2. (1) 求a、b 的值; (2) 设M、N 是右准线l 上两个动点, 满足# » F1M · # » F2M = 0. 证明: 当 # » MN  取最小值时, # » F2F1 + # » F2M + # » F2N = 0. 486

原卷配图（含真实几何/应用题图示）