2008年四川（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年四川（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, 则 ∁U (A ∩B) = ( ) 5分
   A. {2, 3} B. {1, 4, 5} C. {4, 5} D. {1, 5}
2. 2. 复数2i(1 + i)2 = ( ) 5分
   A. −4 B. 4 C. −4i D. 4i
3. 3. (tan x + cot x) cos2x = ( ) 5分
   A. tan x B. sin x C. cos x D. cot x
4. 4. 直线y = 3x 绕原点逆时针旋转900, 再向右平移1 个单位, 所得到的直线 为 ( ) 3x + 1 3 (B) y = −1 3x + 1 (C) y = 3x −3 3x + 1 5分
   A. y = −1 D. y = 1
5. 5. 若0 ⩽α ⩽2π, sin α > √ 3 cos α, 则α 的取值范围是 ( ) (A) (π 3 , π 2 ) (B) (π 3 , π ) (C) (π 3 , 4π 3 ) (D) (π 3 , 3π 2 ) 5分
6. 6. 从甲、乙等10 个同学中挑选4 名参加某项公益活动, 要求甲、乙中至少有 1 人参加, 则不同的挑选方法共有 ( ) 5分
   A. 70 种 B. 112 种 C. 140 种 D. 168 种
7. 7. 已知等比数列{an} 中a2 = 1, 则其前3 项的和S3 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, −1] B. (−∞, 0) ∪(1, +∞) C. [3, +∞) D. (−∞, −1] ∪[3, +∞)
8. 8. 设M, N 是球心O 的半径OP 上的两点, 且NP = MN = OM, 分别过 N, M, O 作垂直于OP 的平面, 截球面得三个圆, 则这三个圆的面积之比 为 ( ) 5分
   A. 3 : 5 : 6 B. 3 : 6 : 8 C. 5 : 7 : 9 D. 5 : 8 : 9
9. 9. 设直线l ⊂平面α, 过平面α 外一点A 与l, α 都成30◦角的直线有且只 有 ( ) 5分
   A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
10. 10. 设f (x) = sin (ωx + φ), 其中ω > 0, 则f (x) 是偶函数的充要条件是( ) 5分
    A. f (0) = 1 B. f (0) = 0 C. f ′ (0) = 1 D. f ′ (0) = 0
11. 11. 设定义在R 上的函数f (x) 满足f (x) · f (x + 2) = 13, 若f (1) = 2, 则 ( ) 2 13 5分
    F. (99) = A. 13 B. 2 C. 13 D. 2
12. 12. 已知抛物线C: y2 = 8x 的焦点为F, 准线与x 轴的交点为K, 点A 在C 上且|AK| = √ 2 |AF|, 则△AFK 的面积为 ( ) 5分
    A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (1 + 2x)3(1 −x)4 展开式中x2 的系数为 . 5分
2. 2. 已知直线l: x −y + 4 = 0 与圆C: (x −1)2 + (y −1)2 = 2, 则C 上各点 到l 的距离的最小值为 . 5分
3. 3. 已知正四棱柱的对角线的长为 √ 6, 且对角线与底面所成角的余弦值为 √ 3 3 , 则该正四棱柱的体积等于 . 5分
4. 4. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若S4 ⩾10, S5 ⩽15, 则a4 的最大值 为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 求函数y = 7 −4 sin x cos x + 4cos2x −4cos4x 的最大值与最小值.
2. 2. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5, 购买乙种商品的 概率为0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立, 各顾客之间购买商 品也是相互独立的. (1) 求进入商场的1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2) 求进入商场的1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (3) 记ξ 表示进入商场的3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的 人数, 求ξ 的分布列及期望.
3. 3. 如图, 平面ABEF ⊥平面ABCD, 四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯 形, ∠BAD = ∠FAB = 90◦, BC 1 2AD, BE 1 2AF. (1) 证明: C, D, F, E 四点共面; (2) 设AB = BC = BE, 求二面角A −ED −B 的大小. A B C D F E 483
4. 4. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知ban −2n = (b −1) Sn. (1) 证明: 当b = 2 时, {an −n · 2n−1} 是等比数列; (2) 求{an} 的通项公式.
5. 5. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率 √ 2 2 , 右准线为l, M, N 是l 上的两个动点, # » F1M · # » F2N = 0. (1) 若 # » F1M  = # » F2N  = 2 √ 5, 求a, b 的值; (2) 证明: 当|MN| 取最小值时, # » F1M + # » F2N 与# » F1F2 共线. x y O l N M F1 F2
6. 6. 已知x = 3 是函数f (x) = a ln (1 + x) + x2 −10x 的一个极值点. (1) 求a; (2) 求函数f (x) 的单调区间; (3) 若直线y = b 与函数y = f (x) 的图象有3 个交点, 求b 的取值范围. 484

原卷配图（含真实几何/应用题图示）