2008年大纲1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年大纲1（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 函数y = √1 −x + √x 的定义域为 ( ) 5分
   A. {x | x ⩽1} B. {x | x ⩾0} C. {x | x ⩾1 或x ⩽0} D. {x | 0 ⩽x ⩽1}
2. 2. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车, 若把这一过程中 汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数, 其图象可能是 ( ) (A) t s O (B) t s O (C) t s O (D) t s O 5分
3. 3. ( 1 + x 2 )5 的展开式中x2 的系数为 ( ) 2 5分
   A. 10 B. 5 C. 5 D. 1
4. 4. 曲线y = x3 −2x + 4 在点(1, 3) 处的切线的倾斜角为 ( ) 5分
   A. 30◦ B. 45◦ C. 60◦ D. 120◦
5. 5. 在△ABC 中, # » AB = c, # » AC = b. 若点D 满足# » BD = 2# » DC, 则# » AD =( ) 3b + 1 3c 3c −2 3b 3b −1 3c 3b + 2 3c 5分
   A. 2 B. 5 C. 2 D. 1
6. 6. y = (sin x −cos x)2 −1 是 ( ) 5分
   A. 最小正周期为2π 的偶函数 B. 最小正周期为2π 的奇函数 C. 最小正周期为π 的偶函数 D. 最小正周期为π 的奇函数
7. 7. 已知等比数列{an} 满足a1 + a2 = 3, a2 + a3 = 6, 则a7 = ( ) 5分
   A. 64 B. 81 C. 128 D. 243
8. 8. 若函数y = f(x) 的图象与函数y = ln √x + 1 的图象关于直线y = x 对 称, 则f(x) = ( ) 5分
   A. e2x−2 B. e2x C. e2x+1 D. e2x+2
9. 9. 为得到函数y = cos ( x + π 3 ) 的图象, 只需将函数y = sin x 的图象 ( ) 6 个长度单位 6 个长度单位 6 个长度单位 6 个长度单位 5分
   A. 向左平移π B. 向右平移π C. 向左平移5π D. 向右平移5π
10. 10. 若直线x ( ) a2 + 1 b2 ⩽1 a2 + 1 b2 ⩾1 5分
    A. + y B. = 1 与圆x2 + y2 = 1 有公共点, 则 A. a2 + b2 ⩽1 B. a2 + b2 ⩾1 C. 1 D. 1
11. 11. 已知三棱柱ABC−A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面ABC 内 的射影为△ABC 的中心, 则AB1 与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) 3 (B) √ 2 3 (C) √ 3 3 3 5分
    A. 1 D. 2
12. 12. 将1, 2, 3 填入3 × 3 的方格中, 要求每行、每列都没有重复数字, 下面是一 种填法, 则不同的填写方法共有 ( ) 1 2 3 3 1 2 2 3 1 5分
    A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 48 种

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若x, y 满足约束条件        x + y ⩾0, x −y + 3 ⩾0, 0 ⩽x ⩽3, 则z = 2x −y 的最大值为 . 5分
2. 2. 已知抛物线y = ax2 −1 的焦点是坐标原点, 则以抛物线与两坐标轴的三 个交点为顶点的三角形面积为 . 5分
3. 3. 在△ABC 中, ∠A = 90◦, tan B = 3 4. 若以A、B 为焦点的椭圆经过点C, 则该椭圆的离心率e = . 5分
4. 4. 已知菱形ABCD 中, AB = 2, ∠A = 120◦, 沿对角线BD 将△ABD 折 起, 使二面角A −BD −C 为120◦, 则点A 到△BCD 所在平面的距离等 于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c, 且a cos B = 3, (1) 求边长a; (2) 若△ABC 的面积S = 10, 求△ABC 的周长l.
2. 2. 四棱锥A −BCDE 中, 底面BCDE 为矩形, 侧面ABC ⊥底面BCDE, BC = 2, CD = √ 2, AB = AC. (1) 证明: AD ⊥CE; (2) 设侧面ABC 为等边三角形, 求二面角C −AD −E 的大小. C D E B A
3. 3. 在数列{an} 中, a1 = 1, an+1 = 2an + 2n. (1) 设bn = an 2n−1 . 证明: 数列{bn} 是等差数列; (2) 求数列{an} 的前n 项和Sn. 435
4. 4. 已知5 只动物中有1 只患有某种疾病, 需要通过化验血液来确定患病的动 物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性即没患病. 下面是两种化 验方案: 方案甲: 逐个化验, 直到能确定患病动物为止. 方案乙: 先任取3 只, 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明 患病动物为这3 只中的1 只, 然后再逐个化验, 直到能确定患病动物为止; 若结果呈阴性则在另外2 只中任取1 只化验. 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.
5. 5. 已知函数f(x) = x3 + ax2 + x + 1, a ∈R. (1) 讨论函数f(x) 的单调区间; (2) 设函数f(x) 在区间 ( −2 3, −1 3 ) 内是减函数, 求a 的取值范围.
6. 6. 双曲线的中心为原点O, 焦点在x 轴上, 两条渐近线分别为l1, l2, 经过右 焦点F 垂直于l1 的直线分别交l1, l2 于A, B 两点. 已知 # » OA 、 # » AB 、 # » OB  成等差数列, 且# » BF 与# » FA 同向. (1) 求双曲线的离心率; (2) 设AB 被双曲线所截得的线段的长为4, 求双曲线的方程. 436

原卷配图（含真实几何/应用题图示）